Страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

177 Сравните числа:

а) $\frac{9}{11}$ и $\frac{5}{13}$;

б) $4,75043$ и $4,7506$;

в) $\frac{5}{6}$ и $0,835$;

г) $\sqrt{2}$ и $\frac{\pi}{2}$;

д) $-\sqrt{3}$ и $-1,7$;

е) $-\frac{17}{20}$ и $-0,9$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{9}{11}$ и $\frac{5}{13}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 13 равен их произведению: $11 \times 13 = 143$.

Приведем первую дробь к знаменателю 143:

$\frac{9}{11} = \frac{9 \times 13}{11 \times 13} = \frac{117}{143}$

Приведем вторую дробь к знаменателю 143:

$\frac{5}{13} = \frac{5 \times 11}{13 \times 11} = \frac{55}{143}$

Теперь сравним получившиеся дроби. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $117 > 55$.

Следовательно, $\frac{117}{143} > \frac{55}{143}$, а значит $\frac{9}{11} > \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{9}{11} > \frac{5}{13}$.

б) Для сравнения десятичных дробей 4,75043 и 4,7506 будем сравнивать их разряды слева направо.

Целые части у чисел одинаковы: 4.

Разряды десятых, сотых и тысячных также совпадают: 7, 5, 0.

Сравним разряд десятитысячных. У числа 4,75043 в этом разряде стоит цифра 4, а у числа 4,7506 — цифра 6.

Так как $4 < 6$, то и $4,75043 < 4,7506$.

Ответ: $4,75043 < 4,7506$.

в) Чтобы сравнить числа $\frac{5}{6}$ и 0,835, переведем обыкновенную дробь в десятичную.

Разделим числитель 5 на знаменатель 6:

$5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$

Теперь сравним десятичные дроби $0,8(3)$ и $0,835$.

$0,8(3) = 0,8333...$

$0,835 = 0,8350...$

Первые два разряда после запятой совпадают. В третьем разряде у первого числа стоит 3, а у второго — 5.

Так как $3 < 5$, то $0,8(3) < 0,835$.

Следовательно, $\frac{5}{6} < 0,835$.

Ответ: $\frac{5}{6} < 0,835$.

г) Для сравнения чисел $\sqrt{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ возведем оба числа в квадрат, так как оба они положительны. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(\frac{\pi}{2})^2 = \frac{\pi^2}{4}$

Теперь сравним $2$ и $\frac{\pi^2}{4}$. Умножим оба выражения на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Сравниваем $2 \times 4$ и $\pi^2$, то есть $8$ и $\pi^2$.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$.

$\pi^2 \approx (3,14159)^2 \approx 9,8696$.

Так как $8 < 9,8696$, то $8 < \pi^2$.

Из этого следует, что $2 < \frac{\pi^2}{4}$, а значит $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$.

д) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\sqrt{3}$ и $-1,7$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt{3}$ и $1,7$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(1,7)^2 = 2,89$

Поскольку $3 > 2,89$, то $\sqrt{3} > 1,7$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Если $a > b$, то $-a < -b$.

Таким образом, из $\sqrt{3} > 1,7$ следует, что $-\sqrt{3} < -1,7$.

Ответ: $-\sqrt{3} < -1,7$.

е) Для сравнения чисел $-\frac{17}{20}$ и $-0,9$ представим дробь $-\frac{17}{20}$ в виде десятичной дроби.

$-\frac{17}{20} = -\frac{17 \times 5}{20 \times 5} = -\frac{85}{100} = -0,85$

Теперь сравним два отрицательных числа: $-0,85$ и $-0,9$.

Сначала сравним их модули: $0,85$ и $0,9$.

$0,85 < 0,9$ (или $0,90$).

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-0,85 > -0,9$.

А значит, $-\frac{17}{20} > -0,9$.

Ответ: $-\frac{17}{20} > -0,9$.

178 На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 1.29). Расположите в порядке возрастания числа $a$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$.

Рис. 1.29

На основе предоставленного изображения мы видим, что число $a$ расположено на координатной прямой между 0 и 1. Это означает, что $a$ является положительным числом, которое меньше единицы. Данное условие можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

Чтобы расположить числа $a$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$ в порядке возрастания, сравним их между собой, используя свойство $0 < a < 1$.

1. Сравним $a$ и $a^2$.
Поскольку $a$ — это положительное число, меньшее 1, то при умножении такого числа на само себя результат будет меньше исходного числа. Чтобы доказать это строго, возьмем правую часть неравенства $a < 1$ и умножим обе части на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства не изменится:
$a \cdot a < 1 \cdot a$
$a^2 < a$
Таким образом, $a^2$ — самое маленькое из этих двух чисел.

2. Сравним $a$ и $\frac{1}{a}$.
Поскольку $0 < a < 1$, число, обратное к $a$, то есть $\frac{1}{a}$, будет больше 1. Чтобы доказать это, разделим обе части неравенства $a < 1$ на положительное число $a$:
$\frac{a}{a} < \frac{1}{a}$
$1 < \frac{1}{a}$
Итак, мы имеем $a < 1$ и в то же время $\frac{1}{a} > 1$. Из этого напрямую следует, что $a < \frac{1}{a}$.

3. Итоговое расположение.
Мы установили, что $a^2 < a$ и $a < \frac{1}{a}$. Объединив эти два неравенства, мы получаем общую упорядоченную последовательность:
$a^2 < a < \frac{1}{a}$

Следовательно, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $a^2$, $a$, $\frac{1}{a}$.

Ответ: $a^2, a, \frac{1}{a}$.

179 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};$

б) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};$

в) $3 - \sqrt{2} + \frac{5}{3-\sqrt{2}};$

г) $\sqrt{(3-4\sqrt{3})^2} - 2\sqrt{3}.$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} $, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $ (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) $. Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $, получаем: $ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2 $.
Теперь преобразуем числитель:
$ \sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{5}) - \sqrt{7}(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = (7 - \sqrt{35}) - (7 + \sqrt{35}) = 7 - \sqrt{35} - 7 - \sqrt{35} = -2\sqrt{35} $.
Таким образом, значение выражения равно $ \frac{-2\sqrt{35}}{2} = -\sqrt{35} $.
Число $ \sqrt{35} $ является иррациональным, так как 35 не является полным квадратом целого числа. Следовательно, $ -\sqrt{35} $ также является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное.

б) Рассмотрим выражение $ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} $.
Общий знаменатель, как и в предыдущем пункте, равен $ (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = 7 - 5 = 2 $.
Преобразуем числитель: $ (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2 - (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 $.
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ и $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.
$ (\sqrt{7} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 - 2\sqrt{35} + 5 = 12 - 2\sqrt{35} $.
$ (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12 + 2\sqrt{35} $.
Тогда числитель равен $ (12 - 2\sqrt{35}) - (12 + 2\sqrt{35}) = 12 - 2\sqrt{35} - 12 - 2\sqrt{35} = -4\sqrt{35} $.
Значение всего выражения: $ \frac{-4\sqrt{35}}{2} = -2\sqrt{35} $.
Это число является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

в) Упростим выражение $ 3 - \sqrt{2} + \frac{5}{3 - \sqrt{2}} $.
Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (3 + \sqrt{2}) $.
$ \frac{5}{3 - \sqrt{2}} = \frac{5(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{15 + 5\sqrt{2}}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{15 + 5\sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7} $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ 3 - \sqrt{2} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7} $.
Приведем все слагаемые к общему знаменателю 7:
$ \frac{7(3 - \sqrt{2})}{7} + \frac{15 + 5\sqrt{2}}{7} = \frac{21 - 7\sqrt{2} + 15 + 5\sqrt{2}}{7} = \frac{(21+15) + (-7\sqrt{2} + 5\sqrt{2})}{7} = \frac{36 - 2\sqrt{2}}{7} $.
Полученное число $ \frac{36}{7} - \frac{2\sqrt{2}}{7} $ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального и иррационального чисел.
Ответ: иррациональное.

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt{(3 - 4\sqrt{3})^2} - 2\sqrt{3} $.
Используем свойство корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.
$ \sqrt{(3 - 4\sqrt{3})^2} = |3 - 4\sqrt{3}| $.
Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $ 3 - 4\sqrt{3} $. Сравним числа 3 и $ 4\sqrt{3} $. Для этого сравним их квадраты:
$ 3^2 = 9 $.
$ (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48 $.
Поскольку $ 9 < 48 $, то $ 3 < 4\sqrt{3} $, и, следовательно, выражение $ 3 - 4\sqrt{3} $ отрицательно.
Значит, $ |3 - 4\sqrt{3}| = -(3 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 3 $.
Подставим результат в исходное выражение:
$ (4\sqrt{3} - 3) - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3} = (4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - 3 = 2\sqrt{3} - 3 $.
Полученное число является разностью иррационального числа $ 2\sqrt{3} $ и рационального числа 3, поэтому оно иррационально.
Ответ: иррациональное.

180 Решите уравнение:

а) $x^2 = 8$;

б) $x^2 - 5 = 11$;

в) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$;

г) $x^3 - 2x = 0.

Какое из уравнений имеет как рациональные, так и иррациональные корни?

а) $x^2 = 8$

Для решения данного уравнения необходимо извлечь квадратный корень из обеих его частей:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим значение корня, разложив подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$

Ответ: $x = \pm2\sqrt{2}$

б) $x^2 - 5 = 11$

Сначала изолируем $x^2$ в левой части уравнения, перенеся -5 в правую часть с противоположным знаком:

$x^2 = 11 + 5$

$x^2 = 16$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{16}$

Корни уравнения:

$x_1 = 4$ и $x_2 = -4$

Ответ: $x = \pm4$

в) $x^4 - 6x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 6y + 9 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(y - 3)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$y - 3 = 0$

$y = 3$

Полученное значение $y=3$ удовлетворяет условию $y \ge 0$. Вернемся к замене:

$x^2 = 3$

Извлечем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{3}$

Корни уравнения:

$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$

г) $x^3 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$

Таким образом, уравнение имеет три корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$

Ответ: $x_1 = 0, x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$

Какое из уравнений имеет как рациональные, так и иррациональные корни?

Проанализируем полученные решения:

В уравнении а) корни $\pm2\sqrt{2}$ являются иррациональными числами.

В уравнении б) корни $\pm4$ являются рациональными числами.

В уравнении в) корни $\pm\sqrt{3}$ являются иррациональными числами.

В уравнении г) получены корни $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$. Корень $0$ является рациональным числом, а корни $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ — иррациональными.

Следовательно, уравнение из пункта г) имеет как рациональные, так и иррациональные корни.

Ответ: уравнение г) $x^3 - 2x = 0$.

181 Составьте какое-нибудь уравнение с рациональными коэффициентами, одним из корней которого является число:

а) $2\sqrt{3}$;

б) $2 + \sqrt{3}$;

в) $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.

а) Чтобы составить уравнение с рациональными коэффициентами, одним из корней которого является число $2\sqrt{3}$, обозначим этот корень через $x$.

Запишем равенство: $x = 2\sqrt{3}$.

Чтобы избавиться от иррациональности (квадратного корня), необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

$x^2 = (2\sqrt{3})^2$

$x^2 = 4 \cdot 3$

$x^2 = 12$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $P(x) = 0$:

$x^2 - 12 = 0$

Коэффициенты этого уравнения: $1$ при $x^2$, $0$ при $x$ и свободный член $-12$. Все эти коэффициенты являются рациональными числами. Следовательно, это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 12 = 0$

б) Пусть корень уравнения $x = 2 + \sqrt{3}$.

Для того, чтобы избавиться от иррациональности, сначала уединим слагаемое с корнем в одной части уравнения:

$x - 2 = \sqrt{3}$

Теперь возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

$(x - 2)^2 = (\sqrt{3})^2$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = 3$

$x^2 - 4x + 4 = 3$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 4 - 3 = 0$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Коэффициенты этого уравнения (1, -4, 1) являются рациональными числами, поэтому это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

в) Пусть корень уравнения $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Так как в выражении содержатся два квадратных корня, для избавления от иррациональности потребуется дважды возводить уравнение в квадрат. Сначала уединим один из корней:

$x - \sqrt{2} = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2$

$x^2 - 2\sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2 = 3$

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 3$

Упростим уравнение и снова уединим слагаемое, содержащее корень:

$x^2 - 1 = 2\sqrt{2}x$

Теперь снова возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня:

$(x^2 - 1)^2 = (2\sqrt{2}x)^2$

Раскроем скобки в обеих частях:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = 4 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot x^2$

$x^4 - 2x^2 + 1 = 4 \cdot 2 \cdot x^2$

$x^4 - 2x^2 + 1 = 8x^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$x^4 - 2x^2 - 8x^2 + 1 = 0$

$x^4 - 10x^2 + 1 = 0$

Все коэффициенты полученного уравнения (1, -10, 1) являются рациональными. Таким образом, это искомое уравнение.

Ответ: $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$

182 Между какими соседними целыми числами заключено выражение:

a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$

б) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}$?

а)

Чтобы найти значение выражения, упростим каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Преобразуем каждое слагаемое:

1. $ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 $

2. $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $

3. $ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{4} - \sqrt{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3})(\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{4 - 3} = \sqrt{4} - \sqrt{3} $

4. $ \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4})(\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{4})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{5 - 4} = \sqrt{5} - \sqrt{4} $

Теперь сложим полученные результаты. Сумма представляет собой телескопический ряд, в котором большинство членов взаимно уничтожаются: $$ (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) = $$ $$ = -1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{4} - \sqrt{4} + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1 $$

Осталось оценить значение выражения $\sqrt{5} - 1$. Известно, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $4 < 5 < 9$. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $$ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{5} < 3 $$ Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства: $$ 2 - 1 < \sqrt{5} - 1 < 3 - 1 $$ $$ 1 < \sqrt{5} - 1 < 2 $$ Таким образом, выражение заключено между соседними целыми числами 1 и 2.

Ответ: между 1 и 2.

б)

Решим задачу аналогичным образом, упростив каждое слагаемое.

1. $ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $

2. $ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $

3. $ \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $

Теперь сложим полученные дроби: $$ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1)}{2} $$ В числителе слагаемые $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$, а также $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются: $$ \frac{\sqrt{7} - \cancel{\sqrt{5}} + \cancel{\sqrt{5}} - \cancel{\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{3}} - 1}{2} = \frac{\sqrt{7} - 1}{2} $$

Оценим значение выражения $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$. Известно, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $4 < 7 < 9$. Извлекая квадратный корень, получаем: $$ \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{7} < 3 $$ Вычтем 1 из всех частей неравенства: $$ 2 - 1 < \sqrt{7} - 1 < 3 - 1 $$ $$ 1 < \sqrt{7} - 1 < 2 $$ Разделим все части неравенства на 2: $$ \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{7} - 1}{2} < \frac{2}{2} $$ $$ 0.5 < \frac{\sqrt{7} - 1}{2} < 1 $$ Таким образом, выражение заключено между соседними целыми числами 0 и 1.

Ответ: между 0 и 1.