Номер 177, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Числа рациональные и иррациональные. Глава 1. Неравенства - номер 177, страница 64.

177 Сравните числа:

а) $\frac{9}{11}$ и $\frac{5}{13}$;

б) $4,75043$ и $4,7506$;

в) $\frac{5}{6}$ и $0,835$;

г) $\sqrt{2}$ и $\frac{\pi}{2}$;

д) $-\sqrt{3}$ и $-1,7$;

е) $-\frac{17}{20}$ и $-0,9$.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{9}{11}$ и $\frac{5}{13}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 11 и 13 равен их произведению: $11 \times 13 = 143$.

Приведем первую дробь к знаменателю 143:

$\frac{9}{11} = \frac{9 \times 13}{11 \times 13} = \frac{117}{143}$

Приведем вторую дробь к знаменателю 143:

$\frac{5}{13} = \frac{5 \times 11}{13 \times 11} = \frac{55}{143}$

Теперь сравним получившиеся дроби. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $117 > 55$.

Следовательно, $\frac{117}{143} > \frac{55}{143}$, а значит $\frac{9}{11} > \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{9}{11} > \frac{5}{13}$.

б) Для сравнения десятичных дробей 4,75043 и 4,7506 будем сравнивать их разряды слева направо.

Целые части у чисел одинаковы: 4.

Разряды десятых, сотых и тысячных также совпадают: 7, 5, 0.

Сравним разряд десятитысячных. У числа 4,75043 в этом разряде стоит цифра 4, а у числа 4,7506 — цифра 6.

Так как $4 < 6$, то и $4,75043 < 4,7506$.

Ответ: $4,75043 < 4,7506$.

в) Чтобы сравнить числа $\frac{5}{6}$ и 0,835, переведем обыкновенную дробь в десятичную.

Разделим числитель 5 на знаменатель 6:

$5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$

Теперь сравним десятичные дроби $0,8(3)$ и $0,835$.

$0,8(3) = 0,8333...$

$0,835 = 0,8350...$

Первые два разряда после запятой совпадают. В третьем разряде у первого числа стоит 3, а у второго — 5.

Так как $3 < 5$, то $0,8(3) < 0,835$.

Следовательно, $\frac{5}{6} < 0,835$.

Ответ: $\frac{5}{6} < 0,835$.

г) Для сравнения чисел $\sqrt{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ возведем оба числа в квадрат, так как оба они положительны. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(\frac{\pi}{2})^2 = \frac{\pi^2}{4}$

Теперь сравним $2$ и $\frac{\pi^2}{4}$. Умножим оба выражения на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Сравниваем $2 \times 4$ и $\pi^2$, то есть $8$ и $\pi^2$.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$.

$\pi^2 \approx (3,14159)^2 \approx 9,8696$.

Так как $8 < 9,8696$, то $8 < \pi^2$.

Из этого следует, что $2 < \frac{\pi^2}{4}$, а значит $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\sqrt{2} < \frac{\pi}{2}$.

д) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\sqrt{3}$ и $-1,7$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt{3}$ и $1,7$.

Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(1,7)^2 = 2,89$

Поскольку $3 > 2,89$, то $\sqrt{3} > 1,7$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Если $a > b$, то $-a < -b$.

Таким образом, из $\sqrt{3} > 1,7$ следует, что $-\sqrt{3} < -1,7$.

Ответ: $-\sqrt{3} < -1,7$.

е) Для сравнения чисел $-\frac{17}{20}$ и $-0,9$ представим дробь $-\frac{17}{20}$ в виде десятичной дроби.

$-\frac{17}{20} = -\frac{17 \times 5}{20 \times 5} = -\frac{85}{100} = -0,85$

Теперь сравним два отрицательных числа: $-0,85$ и $-0,9$.

Сначала сравним их модули: $0,85$ и $0,9$.

$0,85 < 0,9$ (или $0,90$).

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.

Следовательно, $-0,85 > -0,9$.

А значит, $-\frac{17}{20} > -0,9$.

Ответ: $-\frac{17}{20} > -0,9$.