Номер 183, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Числа рациональные и иррациональные. Глава 1. Неравенства - номер 183, страница 65.

183 Упростите выражение:

а) $\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}$;

б) $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$;

в) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$;

г) $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$;

д) $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$;

е) $\sqrt{4\sqrt{5} + 9} + \sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$.

Указание. б), в), д), е) Представьте подкоренное выражение в виде квадрата двучлена, например:

$11 - 4\sqrt{7} = 7 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + 4 = (\sqrt{7} - 2)^2$;

$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + 3 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$.

а) Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда $\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = |\sqrt{5} - 2|$. Чтобы раскрыть модуль, сравним числа $\sqrt{5}$ и $2$. Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Значит, выражение $\sqrt{5} - 2$ положительно, и $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$.
Ответ: $\sqrt{5} - 2$.

б) Чтобы упростить выражение $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}}$, представим подкоренное выражение в виде квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Ищем такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 11$ и $2ab = 6\sqrt{2}$, откуда $ab = 3\sqrt{2}$. Подходят числа $a=3$ и $b=\sqrt{2}$, так как $3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11$. Таким образом, $11 - 6\sqrt{2} = (3 - \sqrt{2})^2$. Получаем: $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}|$. Так как $3 > \sqrt{2}$ (потому что $9 > 2$), разность $3 - \sqrt{2}$ положительна. Следовательно, $|3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}$.
Ответ: $3 - \sqrt{2}$.

в) Для упрощения $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ представим подкоренное выражение в виде квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Нам нужно, чтобы $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 2\sqrt{10}$, то есть $ab = \sqrt{10}$. Подходят числа $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2 = 7$. Значит, $7 + 2\sqrt{10} = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$. Выражение принимает вид: $\sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} + \sqrt{2}|$. Так как оба слагаемых положительны, их сумма тоже положительна, поэтому $|\sqrt{5} + \sqrt{2}| = \sqrt{5} + \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{2}$.

г) Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.
Первое слагаемое: $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}|$. Так как $1 < \sqrt{3}$ (потому что $1 < 3$), разность $1 - \sqrt{3}$ отрицательна. Значит, $|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$.
Второе слагаемое: $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$. Так как $2 > \sqrt{3}$ (потому что $4 > 3$), разность $2 - \sqrt{3}$ положительна. Значит, $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.
Складываем результаты: $(\sqrt{3} - 1) + (2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 + 2 - \sqrt{3} = 1$.
Ответ: $1$.

д) Упростим каждое слагаемое, представив подкоренные выражения в виде квадратов двучленов.
Первое слагаемое: $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2 + b^2 = 4$ и $ab = \sqrt{3}$. Подходят $a=\sqrt{3}$ и $b=1$. Тогда $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$. Значит, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$.
Второе слагаемое: $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$. Аналогично, $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$. Значит, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1|$. Поскольку $\sqrt{3} > 1$, то $|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$.
Складываем результаты: $(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

е) Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt{4\sqrt{5} + 9} = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$. Представим $9 + 4\sqrt{5}$ как квадрат суммы. $9 + 4\sqrt{5} = 9 + 2 \cdot 2\sqrt{5}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=9$ и $ab=2\sqrt{5}$. Подходят $a=\sqrt{5}$ и $b=2$. Тогда $(\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5+4=9$. Значит, $9 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 2)^2$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} = \sqrt{5} + 2$.
Второе слагаемое: $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$. Представим $11 - 4\sqrt{7}$ как квадрат разности. $11 - 4\sqrt{7} = 11 - 2 \cdot 2\sqrt{7}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=11$ и $ab=2\sqrt{7}$. Подходят $a=\sqrt{7}$ и $b=2$. Тогда $(\sqrt{7})^2 + 2^2 = 7+4=11$. Значит, $11 - 4\sqrt{7} = (\sqrt{7} - 2)^2$. Получаем $\sqrt{(\sqrt{7} - 2)^2} = |\sqrt{7} - 2|$. Так как $7>4$, то $\sqrt{7}>2$, поэтому $|\sqrt{7} - 2| = \sqrt{7} - 2$.
Сумма упрощенных слагаемых: $(\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{7} - 2) = \sqrt{5} + 2 + \sqrt{7} - 2 = \sqrt{5} + \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{5} + \sqrt{7}$.