Номер 189, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Решение неравенств и систем неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 189, страница 66.

189 Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} \frac{7x}{3} \ge \frac{4x}{5} \\ -3 \le x \le 3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{2x}{5} \ge \frac{3x}{2} \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} -9 < 5 + 2x < 5 \\ \frac{x+4}{2} < 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2(2x - 3) \ge 3x \\ -3 \le x - 2 \le 3 \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{7x}{3} \ge \frac{4x}{5} \\ -3 \le x \le 3 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{7x}{3} \ge \frac{4x}{5} $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{7x}{3} - \frac{4x}{5} \ge 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$ \frac{5 \cdot 7x}{15} - \frac{3 \cdot 4x}{15} \ge 0 $

$ \frac{35x - 12x}{15} \ge 0 $

$ \frac{23x}{15} \ge 0 $

Умножим обе части на 15:

$ 23x \ge 0 $

Разделим обе части на 23:

$ x \ge 0 $

2. Второе неравенство уже задает интервал для $x$:

$ -3 \le x \le 3 $

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \ge 0$ и $-3 \le x \le 3$ одновременно.

Пересечением множеств $x \in [0, +\infty)$ и $x \in [-3, 3]$ является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: $0 \le x \le 3$

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{2x}{5} \ge \frac{3x}{2} \\ -1 \le x \le 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ \frac{2x}{5} \ge \frac{3x}{2} $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{2x}{5} - \frac{3x}{2} \ge 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$ \frac{2 \cdot 2x}{10} - \frac{5 \cdot 3x}{10} \ge 0 $

$ \frac{4x - 15x}{10} \ge 0 $

$ \frac{-11x}{10} \ge 0 $

Умножим обе части на 10:

$ -11x \ge 0 $

Разделим обе части на -11, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x \le 0 $

2. Второе неравенство задает интервал для $x$:

$ -1 \le x \le 1 $

3. Найдем пересечение решений: $x \le 0$ и $-1 \le x \le 1$.

Пересечением множеств $x \in (-\infty, 0]$ и $x \in [-1, 1]$ является отрезок $[-1, 0]$.

Ответ: $-1 \le x \le 0$

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} -9 < 5 + 2x < 5 \\ \frac{x+4}{2} < 3 \end{cases} $

1. Решим первое (двойное) неравенство:

$ -9 < 5 + 2x < 5 $

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$ -9 - 5 < 2x < 5 - 5 $

$ -14 < 2x < 0 $

Разделим все части на 2:

$ -7 < x < 0 $

2. Решим второе неравенство:

$ \frac{x+4}{2} < 3 $

Умножим обе части на 2:

$ x + 4 < 6 $

Вычтем 4 из обеих частей:

$ x < 2 $

3. Найдем пересечение решений: $-7 < x < 0$ и $x < 2$.

Пересечением множеств $x \in (-7, 0)$ и $x \in (-\infty, 2)$ является интервал $(-7, 0)$.

Ответ: $-7 < x < 0$

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 2(2x - 3) \ge 3x \\ -3 \le x - 2 \le 3 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$ x - 2(2x - 3) \ge 3x $

Раскроем скобки:

$ x - 4x + 6 \ge 3x $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ -3x + 6 \ge 3x $

Перенесем $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$ 6 \ge 3x + 3x $

$ 6 \ge 6x $

Разделим обе части на 6:

$ 1 \ge x $, или $ x \le 1 $

2. Решим второе (двойное) неравенство:

$ -3 \le x - 2 \le 3 $

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$ -3 + 2 \le x \le 3 + 2 $

$ -1 \le x \le 5 $

3. Найдем пересечение решений: $x \le 1$ и $-1 \le x \le 5$.

Пересечением множеств $x \in (-\infty, 1]$ и $x \in [-1, 5]$ является отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $-1 \le x \le 1$