Номер 192, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Вероятность, статистика, комбинаторика. Глава 1. Неравенства - номер 192, страница 66.

192 На чемпионате по прыжкам в воду порядок выступления спортсменов определяется жеребьёвкой. Среди десяти участников два российских спортсмена — Прыгунов и Ласточкин. Равновероятны ли события $A$ и $B$:

a) $A$: Прыгунов будет прыгать первым;

$B$: Ласточкин будет прыгать десятым;

б) $A$: Прыгунов будет прыгать в первой пятёрке;

$B$: Ласточкин будет прыгать во второй пятёрке;

в) $A$: Прыгунов будет прыгать раньше Ласточкина;

$B$: Ласточкин будет прыгать раньше Прыгунова?

Для решения задачи проанализируем вероятности событий A и B в каждом из трёх случаев. Всего в соревновании участвуют 10 спортсменов, и порядок выступления определяется случайной жеребьёвкой, поэтому все 10 мест для любого спортсмена равновероятны.

а) A: Прыгунов будет прыгать первым; B: Ласточкин будет прыгать десятым

Вероятность того, что конкретный спортсмен выступит под определённым номером, одинакова для любого спортсмена и любого номера. Общее число возможных мест для выступления — 10.

Для события A (Прыгунов будет прыгать первым) есть 1 благоприятный исход (первое место) из 10 возможных. Вероятность этого события:

$P(A) = \frac{1}{10}$

Для события B (Ласточкин будет прыгать десятым) также существует 1 благоприятный исход (десятое место) из 10 возможных. Вероятность этого события:

$P(B) = \frac{1}{10}$

Сравнивая вероятности, видим, что $P(A) = P(B)$. Следовательно, события A и B равновероятны.

Ответ: события равновероятны.

б) A: Прыгунов будет прыгать в первой пятёрке; B: Ласточкин будет прыгать во второй пятёрке

Первая пятёрка включает в себя 5 мест (с 1-го по 5-е). Вторая пятёрка также включает в себя 5 мест (с 6-го по 10-е).

Для события A (Прыгунов будет прыгать в первой пятёрке) благоприятными являются 5 исходов из 10 возможных. Вероятность этого события равна:

$P(A) = \frac{\text{число мест в первой пятёрке}}{\text{общее число мест}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Для события B (Ласточкин будет прыгать во второй пятёрке) также благоприятными являются 5 исходов из 10 возможных. Вероятность этого события равна:

$P(B) = \frac{\text{число мест во второй пятёрке}}{\text{общее число мест}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Поскольку $P(A) = P(B)$, события A и B являются равновероятными.

Ответ: события равновероятны.

в) A: Прыгунов будет прыгать раньше Ласточкина; B: Ласточкин будет прыгать раньше Прыгунова

Рассмотрим относительный порядок выступления только двух спортсменов: Прыгунова и Ласточкина. Поскольку жеребьёвка случайна, любой из них с равной вероятностью может оказаться на более ранней позиции, чем другой. Существует только два возможных исхода для их взаимного расположения: либо Прыгунов выступает раньше Ласточкина (событие A), либо Ласточкин выступает раньше Прыгунова (событие B).

Эти два события являются взаимоисключающими (не могут произойти одновременно) и исчерпывающими (одно из них обязательно произойдет, так как они не могут выступать под одним номером). В силу симметрии, присущей случайной жеребьёвке, вероятности этих событий равны.

Обозначим их вероятности как $P(A)$ и $P(B)$. Тогда:

$P(A) = P(B)$

Так как одно из событий обязательно произойдет, сумма их вероятностей равна 1:

$P(A) + P(B) = 1$

Подставляя первое равенство во второе, получаем $2 \times P(A) = 1$, откуда находим:

$P(A) = \frac{1}{2}$

Соответственно, $P(B) = \frac{1}{2}$.

Так как $P(A) = P(B)$, события равновероятны.

Ответ: события равновероятны.