Номер 5, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Неравенства - номер 5, страница 68.

5 Какие свойства неравенств вы знаете? Запишите их с помощью букв и дайте словесные формулировки. Какие из этих свойств аналогичны свойствам равенств? Какие различаются и в чём состоят эти различия?

Какие свойства неравенств вы знаете? Запишите их с помощью букв и дайте словесные формулировки.

Основные свойства числовых неравенств (для примера используется знак $>$, но аналогичные свойства справедливы и для знаков $<$, $\geq$ и $\leq$):

• 1. Транзитивность.

  Словесная формулировка: Если одно число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

• 2. Прибавление числа к обеим частям неравенства.

  Словесная формулировка: Если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство.

  Буквенная запись: Если $a > b$, то для любого числа $c$ верно $a + c > b + c$.

• 3. Умножение (деление) на положительное число.

  Словесная формулировка: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

• 4. Умножение (деление) на отрицательное число.

  Словесная формулировка: Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

• 5. Почленное сложение неравенств.

  Словесная формулировка: При почленном сложении верных неравенств одного знака результатом будет верное неравенство того же знака.

  Буквенная запись: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

• 6. Почленное умножение неравенств.

  Словесная формулировка: При почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых все части положительны, результатом будет верное неравенство того же знака.

  Буквенная запись: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Ответ: Основные свойства неравенств включают транзитивность, возможность прибавления к обеим частям одного и того же числа, правила умножения на положительное и отрицательное число, а также правила почленного сложения и умножения неравенств.

Какие из этих свойств аналогичны свойствам равенств?

Свойства равенств и неравенств во многом схожи. Аналогичными являются следующие свойства:

• Транзитивность: Как и для неравенств, для равенств верно: если $a = b$ и $b = c$, то $a = c$.

• Прибавление (вычитание) числа к обеим частям: Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число, получится верное равенство: если $a = b$, то $a + c = b + c$. Это полностью аналогично свойству неравенств.

• Умножение (деление) на одно и то же положительное число: Это свойство также аналогично: если $a=b$ и $c>0$, то $ac = bc$.

• Почленное сложение: Равенства, как и неравенства одного знака, можно почленно складывать: если $a=b$ и $c=d$, то $a+c=b+d$.

• Почленное умножение: Равенства, как и неравенства с положительными частями, можно почленно перемножать: если $a=b$ и $c=d$, то $ac=bd$.

Ответ: Свойствам равенств аналогичны свойства транзитивности, прибавления к обеим частям одного и того же числа, умножения на положительное число, а также почленное сложение и умножение.

Какие различаются и в чём состоят эти различия?

Несмотря на сходства, существуют и ключевые различия между свойствами равенств и неравенств.

1. Симметричность. Равенства обладают свойством симметричности: если $a = b$, то $b = a$. Неравенства этим свойством не обладают. Для них характерна антисимметричность: если $a > b$, то $b < a$. Знак отношения меняется на противоположный.

2. Умножение (деление) на отрицательное число. Это самое важное практическое различие. При умножении или делении обеих частей верного равенства на любое ненулевое число (в том числе отрицательное), равенство сохраняется: если $a = b$ и $c \neq 0$, то $ac = bc$. В случае с неравенствами, при умножении или делении на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

3. Возведение в степень. Обе части равенства можно возводить в любую натуральную степень: если $a=b$, то $a^n=b^n$. С неравенствами это можно делать лишь при определенных условиях. Например, если обе части неравенства неотрицательны, то их можно возвести в любую натуральную степень с сохранением знака неравенства: если $a > b \geq 0$, то $a^n > b^n$. Если же части неравенства разных знаков или обе отрицательны, то простое возведение в степень без дополнительного анализа может привести к неверному результату.

Ответ: Основные различия заключаются в отсутствии у неравенств свойства симметричности (вместо него — антисимметричность) и в необходимости менять знак неравенства на противоположный при умножении или делении на отрицательное число. Также существуют различия при возведении в степень.