Номер 7, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Неравенства - номер 7, страница 68.

7 Какие уравнения называют равносильными? Объясните, почему равносильны уравнения:

$3x + 7 = 1$ и $3x = -6;$

$\frac{1}{2}x - 3 = \frac{1}{4}x$ и $2x - 12 = x.$

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые множества корней (решений). Иными словами, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и каждый корень второго уравнения является корнем первого, то такие уравнения равносильны. Также равносильными считаются уравнения, которые не имеют корней.

$3x + 7 = 1$ и $3x = -6$
Чтобы доказать равносильность этих уравнений, найдем их корни.
Решим первое уравнение $3x + 7 = 1$.
Выполним равносильное преобразование: перенесем число 7 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.
$3x = 1 - 7$
$3x = -6$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-6}{3}$
$x = -2$
Корень первого уравнения: $x = -2$.

Теперь решим второе уравнение $3x = -6$.
Разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-6}{3}$
$x = -2$
Корень второго уравнения также $x = -2$.
Так как множества корней обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа, -2), то уравнения являются равносильными.
Ответ: Уравнения равносильны, поскольку имеют одинаковый корень $x = -2$.

$\frac{1}{2}x - 3 = \frac{1}{4}x$ и $2x - 12 = x$
Докажем равносильность, найдя корни каждого уравнения.
Решим первое уравнение $\frac{1}{2}x - 3 = \frac{1}{4}x$.
Применим равносильное преобразование: умножим обе части уравнения на 4 (наименьший общий знаменатель дробей), чтобы избавиться от них.
$4 \cdot (\frac{1}{2}x - 3) = 4 \cdot (\frac{1}{4}x)$
$4 \cdot \frac{1}{2}x - 4 \cdot 3 = 1 \cdot x$
$2x - 12 = x$
На этом шаге мы получили в точности второе уравнение ($2x - 12 = x$), что само по себе доказывает равносильность исходных уравнений, так как мы использовали только равносильные преобразования. Продолжим решение, чтобы найти корень.
$2x - x = 12$
$x = 12$
Корень первого уравнения: $x = 12$.

Решим второе уравнение $2x - 12 = x$.
Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа - в другую.
$2x - x = 12$
$x = 12$
Корень второго уравнения также $x = 12$.
Поскольку корни обоих уравнений одинаковы, уравнения равносильны.
Ответ: Уравнения равносильны, поскольку имеют одинаковый корень $x = 12$.