Номер 1, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 1. Неравенства - номер 1, страница 69.

1 Выберите из чисел 0,57; $-\frac{1}{6}$; $\frac{\pi}{3}$; $-\sqrt{2}$; 5; $1-\sqrt{5}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{\sqrt{2}}{3}$; -18:

a) положительные рациональные числа;

б) иррациональные числа;

в) отрицательные действительные числа.

Для выполнения задания сначала проанализируем каждое число из предложенного списка: $0,57; -\frac{1}{6}; \frac{\pi}{3}; -\sqrt{2}; 5; 1-\sqrt{5}; \frac{2}{3}; \frac{\sqrt{2}}{3}; -18$.

• $0,57$ — это конечная десятичная дробь, которую можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{57}{100}$. Следовательно, это рациональное число. Оно больше нуля, значит, положительное.

• $-\frac{1}{6}$ — это число, представленное в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа. Это рациональное число. Оно меньше нуля, значит, отрицательное.

• $\frac{\pi}{3}$ — число $\pi$ является иррациональным (его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$). Деление иррационального числа на целое (кроме нуля) дает иррациональный результат. Число положительное.

• $-\sqrt{2}$ — число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Следовательно, $-\sqrt{2}$ также иррациональное. Число отрицательное.

• $5$ — это целое число. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1 ($5 = \frac{5}{1}$). Число положительное.

• $1-\sqrt{5}$ — это разность рационального числа (1) и иррационального числа ($\sqrt{5}$), результат всегда иррационален. Так как $\sqrt{5} \approx 2,236$, то $1 - \sqrt{5} < 0$, следовательно, число отрицательное.

• $\frac{2}{3}$ — это обыкновенная дробь, отношение двух целых чисел. Это рациональное число. Оно положительное.

• $\frac{\sqrt{2}}{3}$ — деление иррационального числа ($\sqrt{2}$) на целое (3) дает иррациональный результат. Число положительное.

• $-18$ — это целое число, а значит, и рациональное ($\frac{-18}{1}$). Число отрицательное.

а) положительные рациональные числа

Из списка необходимо выбрать числа, которые являются одновременно положительными (больше 0) и рациональными (представимы в виде дроби $\frac{m}{n}$). На основе нашего анализа, это числа: $0,57$, $5$ и $\frac{2}{3}$.

Ответ: $0,57; 5; \frac{2}{3}$.

б) иррациональные числа

Из списка необходимо выбрать все числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. К ним относятся числа, содержащие $\pi$ или корень из числа, не являющегося полным квадратом. На основе нашего анализа, это числа: $\frac{\pi}{3}$, $-\sqrt{2}$, $1-\sqrt{5}$ и $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}; -\sqrt{2}; 1-\sqrt{5}; \frac{\sqrt{2}}{3}$.

в) отрицательные действительные числа

Действительные числа включают в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Из списка необходимо выбрать все числа, которые меньше нуля. На основе нашего анализа, это числа: $-\frac{1}{6}$, $-\sqrt{2}$, $1-\sqrt{5}$ и $-18$.

Ответ: $-\frac{1}{6}; -\sqrt{2}; 1-\sqrt{5}; -18$.