Номер 2, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Глава 1. Неравенства - номер 2, страница 68.

2 Покажите схематически соотношения между множествами натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Вставьте знак $\in$ или $\notin$ так, чтобы получилось верное высказывание:

$-3 \ldots \mathbf{N}$, $-3 \ldots \mathbf{Z}$, $-3 \ldots \mathbf{R}$,

$10 \ldots \mathbf{N}$, $10 \ldots \mathbf{Z}$, $10 \ldots \mathbf{R}$,

$\sqrt{2} \ldots \mathbf{N}$, $\sqrt{2} \ldots \mathbf{Z}$, $\sqrt{2} \ldots \mathbf{R}$.

Схематическое соотношение множеств чисел

Соотношения между числовыми множествами можно представить в виде диаграммы Эйлера, где каждое последующее множество включает в себя все предыдущие. Эта иерархия выглядит следующим образом:

• $N$ — множество натуральных чисел (для счета: 1, 2, 3, ...).
• $Z$ — множество целых чисел (натуральные числа, им противоположные и ноль: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).
• $Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $m/n$, где $m \in Z, n \in N$).
• $R$ — множество действительных чисел (все рациональные и иррациональные числа, например $\sqrt{2}, \pi, e$).

Таким образом, любое натуральное число является одновременно и целым, и рациональным, и действительным. Любое целое число является рациональным и действительным, и так далее. Это можно записать с помощью знака включения множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

Схематически это выглядит так:

$R$ (Действительные числа)

$Q$ (Рациональные числа)

$Z$ (Целые числа)

$N$ (Натуральные числа)

Вставка знаков принадлежности

Вставим знак $\in$ (принадлежит) или $\notin$ (не принадлежит) в выражения, чтобы они стали верными.

-3 ... N, -3 ... Z, -3 ... R

Число $-3$ — это отрицательное целое число. Множество натуральных чисел $N$ состоит только из положительных целых чисел, поэтому $-3$ ему не принадлежит. Множество целых чисел $Z$ включает в себя отрицательные целые числа, поэтому $-3$ ему принадлежит. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все целые числа, поэтому $-3$ ему также принадлежит.
Ответ: $-3 \notin N$, $-3 \in Z$, $-3 \in R$.

10 ... N, 10 ... Z, 10 ... R

Число $10$ — это натуральное число. Поскольку множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множеств $Z$ и $R$ ($N \subset Z \subset R$), то число $10$ принадлежит каждому из этих множеств.
Ответ: $10 \in N$, $10 \in Z$, $10 \in R$.

$\sqrt{2}$ ... N, $\sqrt{2}$ ... Z, $\sqrt{2}$ ... R

Число $\sqrt{2}$ — это иррациональное число (его нельзя представить в виде конечной или периодической десятичной дроби). $\sqrt{2}$ не является целым числом, поэтому оно не принадлежит ни множеству натуральных чисел $N$, ни множеству целых чисел $Z$. Множество действительных чисел $R$ состоит из рациональных и иррациональных чисел, поэтому $\sqrt{2}$ принадлежит множеству $R$.
Ответ: $\sqrt{2} \notin N$, $\sqrt{2} \notin Z$, $\sqrt{2} \in R$.