Номер 188, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Решение неравенств и систем неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 188, страница 66.

188 Дано неравенство $3x - 7 > 5x - a$, где $x$ — переменная, $a$ — некоторое число. При каком $a$ множеством решений неравенства является:

а) множество всех отрицательных чисел;

б) множество чисел, меньших 1;

в) множество чисел, меньших $-10$?

Сначала решим данное неравенство относительно переменной $x$, чтобы выразить множество его решений через параметр $a$.

Исходное неравенство:

$3x - 7 > 5x - a$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую часть неравенства:

$3x - 5x > 7 - a$

Упростим левую часть:

$-2x > 7 - a$

Теперь разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{7 - a}{-2}$

Упростим выражение в правой части:

$x < \frac{a - 7}{2}$

Таким образом, множеством решений данного неравенства является интервал $(-\infty; \frac{a - 7}{2})$. Теперь мы можем найти значение $a$ для каждого из заданных условий.

а) множество всех отрицательных чисел

Множество всех отрицательных чисел — это множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x < 0$. Чтобы множество решений нашего неравенства $x < \frac{a - 7}{2}$ совпадало с этим множеством, необходимо, чтобы их правые части были равны.

$\frac{a - 7}{2} = 0$

Умножим обе части на 2:

$a - 7 = 0$

Отсюда находим $a$:

$a = 7$

Проверка: при $a = 7$ решение неравенства $x < \frac{7 - 7}{2}$ есть $x < 0$.
Ответ: $a = 7$.

б) множество чисел, меньших 1

Данное условие означает, что решением является множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x < 1$. Сравнивая это с общим решением $x < \frac{a - 7}{2}$, мы должны приравнять правые части.

$\frac{a - 7}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$a - 7 = 2$

Отсюда находим $a$:

$a = 9$

Проверка: при $a = 9$ решение неравенства $x < \frac{9 - 7}{2}$ есть $x < \frac{2}{2}$, то есть $x < 1$.
Ответ: $a = 9$.

в) множество чисел, меньших –10

Это условие означает, что решением является множество всех $x$, удовлетворяющих неравенству $x < -10$. Снова приравниваем правую часть общего решения к этому значению.

$\frac{a - 7}{2} = -10$

Умножим обе части на 2:

$a - 7 = -20$

Отсюда находим $a$:

$a = -20 + 7$

$a = -13$

Проверка: при $a = -13$ решение неравенства $x < \frac{-13 - 7}{2}$ есть $x < \frac{-20}{2}$, то есть $x < -10$.
Ответ: $a = -13$.