Номер 182, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 1. Числа рациональные и иррациональные. Глава 1. Неравенства - номер 182, страница 64.

182 Между какими соседними целыми числами заключено выражение:

a) $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$

б) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}$?

а)

Чтобы найти значение выражения, упростим каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Преобразуем каждое слагаемое:

1. $ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 $

2. $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $

3. $ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{4} - \sqrt{3})}{(\sqrt{4} + \sqrt{3})(\sqrt{4} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{4 - 3} = \sqrt{4} - \sqrt{3} $

4. $ \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot ( \sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4})(\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{4})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{5 - 4} = \sqrt{5} - \sqrt{4} $

Теперь сложим полученные результаты. Сумма представляет собой телескопический ряд, в котором большинство членов взаимно уничтожаются: $$ (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) = $$ $$ = -1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{4} - \sqrt{4} + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1 $$

Осталось оценить значение выражения $\sqrt{5} - 1$. Известно, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $4 < 5 < 9$. Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем: $$ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{5} < 3 $$ Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства: $$ 2 - 1 < \sqrt{5} - 1 < 3 - 1 $$ $$ 1 < \sqrt{5} - 1 < 2 $$ Таким образом, выражение заключено между соседними целыми числами 1 и 2.

Ответ: между 1 и 2.

б)

Решим задачу аналогичным образом, упростив каждое слагаемое.

1. $ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} $

2. $ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} $

3. $ \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} $

Теперь сложим полученные дроби: $$ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1)}{2} $$ В числителе слагаемые $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$, а также $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются: $$ \frac{\sqrt{7} - \cancel{\sqrt{5}} + \cancel{\sqrt{5}} - \cancel{\sqrt{3}} + \cancel{\sqrt{3}} - 1}{2} = \frac{\sqrt{7} - 1}{2} $$

Оценим значение выражения $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$. Известно, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $4 < 7 < 9$. Извлекая квадратный корень, получаем: $$ \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{7} < 3 $$ Вычтем 1 из всех частей неравенства: $$ 2 - 1 < \sqrt{7} - 1 < 3 - 1 $$ $$ 1 < \sqrt{7} - 1 < 2 $$ Разделим все части неравенства на 2: $$ \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{7} - 1}{2} < \frac{2}{2} $$ $$ 0.5 < \frac{\sqrt{7} - 1}{2} < 1 $$ Таким образом, выражение заключено между соседними целыми числами 0 и 1.

Ответ: между 0 и 1.