Номер 175, страница 63 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Ещё о средних. Глава 1. Неравенства - номер 175, страница 63.

175 Покажите, что в трапеции $ABCD$ отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции, подобные между собой, равен среднему геометрическому оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a=AD$ и $b=BC$.Пусть отрезок $EF$, параллельный основаниям ($E$ на стороне $AB$, $F$ на стороне $CD$), делит трапецию $ABCD$ на две трапеции: $EBCF$ и $AEFD$. Обозначим длину отрезка $EF$ как $x$.

По условию задачи, полученные трапеции $EBCF$ и $AEFD$ подобны друг другу.Из определения подобных многоугольников следует, что отношение длин их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия.

Рассмотрим основания этих двух трапеций.Трапеция $EBCF$ имеет основания $BC$ и $EF$, длины которых равны $b$ и $x$.Трапеция $AEFD$ имеет основания $EF$ и $AD$, длины которых равны $x$ и $a$.

Без ограничения общности, предположим, что $a > b$. Так как отрезок $EF$ расположен между основаниями, его длина $x$ удовлетворяет условию $b < x < a$.Следовательно, в трапеции $EBCF$ меньшим основанием является $BC$ (длиной $b$), а большим – $EF$ (длиной $x$).В трапеции $AEFD$ меньшим основанием является $EF$ (длиной $x$), а большим – $AD$ (длиной $a$).

Поскольку трапеции подобны, отношение их соответственных сторон должно быть одинаковым. Сопоставим меньшее основание одной трапеции с меньшим основанием другой, и большее основание с большим. Получим следующее равенство отношений:$$ \frac{\text{большее основание } AEFD}{\text{большее основание } EBCF} = \frac{\text{меньшее основание } AEFD}{\text{меньшее основание } EBCF} $$Подставляя длины сторон, получаем пропорцию:$$ \frac{AD}{EF} = \frac{EF}{BC} $$$$ \frac{a}{x} = \frac{x}{b} $$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем равенство:$$ x \cdot x = a \cdot b $$$$ x^2 = ab $$Так как длина отрезка $x$ является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:$$ x = \sqrt{ab} $$Таким образом, доказано, что длина отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на две подобные между собой трапеции, равна среднему геометрическому оснований.

Ответ: Длина искомого отрезка равна $\sqrt{ab}$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.