Номер 169, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 169, страница 60.

169 Может ли сумма двух периодических дробей быть непериодической?

Нет, сумма двух периодических дробей не может быть непериодической. Чтобы это доказать, воспользуемся определением периодической дроби и свойствами рациональных чисел.

Любая периодическая десятичная дробь является представлением рационального числа, то есть числа, которое можно записать в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число.

Пусть у нас есть две произвольные периодические дроби $A$ и $B$. Так как они периодические, они являются рациональными числами и могут быть представлены в виде обыкновенных дробей:

$A = \frac{p_1}{q_1}$

$B = \frac{p_2}{q_2}$

где $p_1, p_2$ — целые числа, а $q_1, q_2$ — натуральные числа.

Найдем сумму этих двух дробей:

$S = A + B = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю:

$S = \frac{p_1 q_2}{q_1 q_2} + \frac{p_2 q_1}{q_1 q_2} = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}$

Рассмотрим полученную дробь. Ее числитель, $p_3 = p_1 q_2 + p_2 q_1$, является целым числом, так как это сумма произведений целых чисел. Ее знаменатель, $q_3 = q_1 q_2$, является натуральным числом, так как это произведение натуральных чисел.

Таким образом, сумма $S$ может быть представлена в виде дроби $\frac{p_3}{q_3}$, где $p_3$ — целое, а $q_3$ — натуральное число. Это по определению означает, что сумма $S$ является рациональным числом.

С другой стороны, непериодическая бесконечная дробь представляет собой иррациональное число. Поскольку сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом, она не может быть иррациональным числом. Следовательно, десятичное представление суммы двух периодических дробей не может быть непериодическим. Оно всегда будет либо конечным (что можно считать частным случаем периодической дроби с периодом 0), либо периодическим.

Например, $0.(3) + 0.(6) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 = 1.(0)$, что является периодической дробью.

Ответ: нет, не может.