Номер 166, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

166 В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило перевода периодической дроби в обыкновенную дробь:

«Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную, надо в её числителе записать период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде (например, $0,(13) = \frac{13}{99}$).

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и разделить полученную разность на число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр после запятой до первого периода (например, $0,5(13) = \frac{513-5}{990} = \frac{508}{990} = \frac{254}{495}$).»

Пользуясь этим правилом, представьте в виде обыкновенной дроби число:

а) 0,(72); б) 0,(123); в) 0,1(11); г) 0,24(06).

а) 0,(72)

Это чистая периодическая дробь. Согласно правилу, в числитель записываем период, а в знаменатель столько девяток, сколько цифр в периоде.
Период равен 72. В периоде 2 цифры.
Следовательно, получаем дробь: $\frac{72}{99}$.
Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 9:
$\frac{72}{99} = \frac{72 \div 9}{99 \div 9} = \frac{8}{11}$.
Ответ: $\frac{8}{11}$.

б) 0,(123)

Это чистая периодическая дробь. Период равен 123. В периоде 3 цифры.
В числитель записываем 123, а в знаменатель три девятки, то есть 999.
Получаем дробь: $\frac{123}{999}$.
Сократим дробь. Сумма цифр числителя $1+2+3=6$, сумма цифр знаменателя $9+9+9=27$. Оба числа делятся на 3.
$\frac{123}{999} = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333}$.
Число 41 простое, а 333 на 41 не делится, значит, дробь несократимая.
Ответ: $\frac{41}{333}$.

в) 0,1(11)

Это смешанная периодическая дробь. Согласно правилу, нужно из числа, стоящего до второго периода (111), вычесть число, стоящее до первого периода (1). Результат записать в числитель. В знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде (2), и столько нулей, сколько цифр после запятой до периода (1).
Числитель: $111 - 1 = 110$.
Знаменатель: 990.
Получаем дробь: $\frac{110}{990}$.
Сократим дробь на 110:
$\frac{110}{990} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

г) 0,24(06)

Это смешанная периодическая дробь. Число до второго периода - 2406. Число до первого периода - 24. В периоде (06) 2 цифры. После запятой до периода (24) 2 цифры.
Числитель: $2406 - 24 = 2382$.
Знаменатель будет состоять из двух девяток и двух нулей: 9900.
Получаем дробь: $\frac{2382}{9900}$.
Сократим дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2382 \div 2}{9900 \div 2} = \frac{1191}{4950}$.
Теперь проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $1+1+9+1=12$, сумма цифр знаменателя $4+9+5+0=18$. Оба делятся на 3.
$\frac{1191 \div 3}{4950 \div 3} = \frac{397}{1650}$.
Число 397 является простым, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{397}{1650}$.