Номер 166, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Неравенства. 1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби - номер 166, страница 60.

Условие.

166 В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило перевода периодической дроби в обыкновенную дробь:

«Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную, надо в её числителе записать период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде (например, $0,(13) = \frac{13}{99}$).

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и разделить полученную разность на число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр после запятой до первого периода (например, $0,5(13) = \frac{513-5}{990} = \frac{508}{990} = \frac{254}{495}$).»

Пользуясь этим правилом, представьте в виде обыкновенной дроби число:

а) 0,(72); б) 0,(123); в) 0,1(11); г) 0,24(06).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) 0,(72)

Это чистая периодическая дробь. Согласно правилу, в числитель записываем период, а в знаменатель столько девяток, сколько цифр в периоде.
Период равен 72. В периоде 2 цифры.
Следовательно, получаем дробь: $ \frac{72}{99} $.
Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 9:
$ \frac{72}{99} = \frac{72 \div 9}{99 \div 9} = \frac{8}{11} $.
Ответ: $ \frac{8}{11} $.

б) 0,(123)

Это чистая периодическая дробь. Период равен 123. В периоде 3 цифры.
В числитель записываем 123, а в знаменатель три девятки, то есть 999.
Получаем дробь: $ \frac{123}{999} $.
Сократим дробь. Сумма цифр числителя $1+2+3=6$, сумма цифр знаменателя $9+9+9=27$. Оба числа делятся на 3.
$ \frac{123}{999} = \frac{123 \div 3}{999 \div 3} = \frac{41}{333} $.
Число 41 простое, а 333 на 41 не делится, значит, дробь несократимая.
Ответ: $ \frac{41}{333} $.

в) 0,1(11)

Это смешанная периодическая дробь. Согласно правилу, нужно из числа, стоящего до второго периода (111), вычесть число, стоящее до первого периода (1). Результат записать в числитель. В знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде (2), и столько нулей, сколько цифр после запятой до периода (1).
Числитель: $ 111 - 1 = 110 $.
Знаменатель: 990.
Получаем дробь: $ \frac{110}{990} $.
Сократим дробь на 110:
$ \frac{110}{990} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9} $.
Ответ: $ \frac{1}{9} $.

г) 0,24(06)

Это смешанная периодическая дробь. Число до второго периода - 2406. Число до первого периода - 24. В периоде (06) 2 цифры. После запятой до периода (24) 2 цифры.
Числитель: $ 2406 - 24 = 2382 $.
Знаменатель будет состоять из двух девяток и двух нулей: 9900.
Получаем дробь: $ \frac{2382}{9900} $.
Сократим дробь. Сначала разделим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{2382 \div 2}{9900 \div 2} = \frac{1191}{4950} $.
Теперь проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя $1+1+9+1=12$, сумма цифр знаменателя $4+9+5+0=18$. Оба делятся на 3.
$ \frac{1191 \div 3}{4950 \div 3} = \frac{397}{1650} $.
Число 397 является простым, поэтому дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $ \frac{397}{1650} $.