Номер 160, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.7. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби. Глава 1. Неравенства - номер 160, страница 59.

160 Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

а) $\frac{5}{9}$;

б) $\frac{6}{11}$;

в) $\frac{7}{13}$;

г) $\frac{5}{6}$;

д) $\frac{7}{22}$;

е) $\frac{11}{40}$.

а) Чтобы представить дробь $\frac{5}{9}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя 5 на знаменатель 9. Это можно сделать "в столбик":
Поскольку 5 меньше 9, целая часть частного равна 0. Ставим запятую после нуля.
$5 \div 9 = 0,...$
Умножаем 5 на 10, получаем 50. Делим 50 на 9:
$50 \div 9 = 5$ с остатком $5$ ($50 = 9 \times 5 + 5$). Первая цифра после запятой - 5.
К остатку 5 снова приписываем 0, получаем 50. Делим 50 на 9:
$50 \div 9 = 5$ с остатком $5$. Вторая цифра после запятой - 5.
Так как остаток постоянно повторяется и равен 5, последующие цифры частного также будут 5. Мы получили чистую периодическую дробь с периодом 5.
$\frac{5}{9} = 0,555... = 0,(5)$.
Ответ: $0,(5)$.

б) Чтобы представить дробь $\frac{6}{11}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 6 на 11:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$60 \div 11 = 5$ с остатком $5$ ($60 = 11 \times 5 + 5$).
$50 \div 11 = 4$ с остатком $6$ ($50 = 11 \times 4 + 6$).
$60 \div 11 = 5$ с остатком $5$.
Мы видим, что остатки начали повторяться (сначала 5, потом 6, потом снова 5), а значит, и цифры в частном будут повторяться. Период дроби состоит из цифр 5 и 4.
$\frac{6}{11} = 0,5454... = 0,(54)$.
Ответ: $0,(54)$.

в) Чтобы представить дробь $\frac{7}{13}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 7 на 13:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$70 \div 13 = 5$ с остатком $5$.
$50 \div 13 = 3$ с остатком $11$.
$110 \div 13 = 8$ с остатком $6$.
$60 \div 13 = 4$ с остатком $8$.
$80 \div 13 = 6$ с остатком $2$.
$20 \div 13 = 1$ с остатком $7$.
Остаток снова стал равен 7, как и в самом начале деления. Это означает, что последовательность цифр в частном начнет повторяться. Период дроби - 538461.
$\frac{7}{13} = 0,538461538461... = 0,(538461)$.
Ответ: $0,(538461)$.

г) Чтобы представить дробь $\frac{5}{6}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 5 на 6:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$50 \div 6 = 8$ с остатком $2$ ($50 = 6 \times 8 + 2$).
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$ ($20 = 6 \times 3 + 2$).
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$.
Остаток 2 будет повторяться бесконечно, а значит, и цифра 3 в частном будет повторяться. Цифра 8 не входит в период. Это смешанная периодическая дробь.
$\frac{5}{6} = 0,8333... = 0,8(3)$.
Ответ: $0,8(3)$.

д) Чтобы представить дробь $\frac{7}{22}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 7 на 22:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$70 \div 22 = 3$ с остатком $4$ ($70 = 22 \times 3 + 4$).
$40 \div 22 = 1$ с остатком $18$ ($40 = 22 \times 1 + 18$).
$180 \div 22 = 8$ с остатком $4$ ($180 = 22 \times 8 + 4$).
Остаток 4 повторился, значит, последовательность цифр в частном, полученная после этого шага, начнет повторяться. Период дроби - 18. Цифра 3 не входит в период.
$\frac{7}{22} = 0,3181818... = 0,3(18)$.
Ответ: $0,3(18)$.

е) Чтобы представить дробь $\frac{11}{40}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 11 на 40:
Целая часть равна 0. Ставим запятую.
$110 \div 40 = 2$ с остатком $30$ ($110 = 40 \times 2 + 30$).
$300 \div 40 = 7$ с остатком $20$ ($300 = 40 \times 7 + 20$).
$200 \div 40 = 5$ с остатком $0$ ($200 = 40 \times 5 + 0$).
Деление закончилось, мы получили конечную десятичную дробь $0,275$.
Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической, дописав в периоде 0.
$\frac{11}{40} = 0,275 = 0,275000... = 0,275(0)$.
Ответ: $0,275(0)$.