Номер 158, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Что означают слова «с точностью до...». Глава 1. Неравенства - номер 158, страница 55.

158 При измерении толщины одной и той же металлической детали штангенциркулем и микрометром полученные результаты записали соответственно в виде $l \approx 2,5 \text{ мм}$ и $l \approx 2,48 \text{ мм}$. В каждом случае укажите промежуток, в котором находится точное значение этой величины, и найдите относительную погрешность измерения.

Для решения задачи необходимо определить абсолютную и относительную погрешности для каждого измерения. Абсолютная погрешность прямого измерения обычно принимается равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Цена деления определяется по последнему значащему разряду в записи результата.

1. Измерение штангенциркулем

Результат измерения: $l_1 \approx 2,5$ мм. Последний значащий разряд — десятые, следовательно, цена деления прибора составляет 0,1 мм.

Абсолютная погрешность измерения $\Delta l_1$ равна половине цены деления:

$\Delta l_1 = \frac{0,1 \text{ мм}}{2} = 0,05$ мм.

Точное значение величины $l$ находится в промежутке от $(l_1 - \Delta l_1)$ до $(l_1 + \Delta l_1)$:

$2,5 \text{ мм} - 0,05 \text{ мм} \le l \le 2,5 \text{ мм} + 0,05 \text{ мм}$

$2,45 \text{ мм} \le l \le 2,55 \text{ мм}$

Относительная погрешность $\epsilon_1$ — это отношение абсолютной погрешности к измеренному значению:

$\epsilon_1 = \frac{\Delta l_1}{l_1} = \frac{0,05 \text{ мм}}{2,5 \text{ мм}} = 0,02$

В процентах относительная погрешность составляет: $\epsilon_1 = 0,02 \cdot 100\% = 2\%$.

Ответ: Промежуток, в котором находится точное значение: $[2,45 \text{ мм}; 2,55 \text{ мм}]$; относительная погрешность: $2\%$.

2. Измерение микрометром

Результат измерения: $l_2 \approx 2,48$ мм. Последний значащий разряд — сотые, следовательно, цена деления прибора составляет 0,01 мм.

Абсолютная погрешность измерения $\Delta l_2$ равна:

$\Delta l_2 = \frac{0,01 \text{ мм}}{2} = 0,005$ мм.

Точное значение величины $l$ находится в промежутке от $(l_2 - \Delta l_2)$ до $(l_2 + \Delta l_2)$:

$2,48 \text{ мм} - 0,005 \text{ мм} \le l \le 2,48 \text{ мм} + 0,005 \text{ мм}$

$2,475 \text{ мм} \le l \le 2,485 \text{ мм}$

Относительная погрешность $\epsilon_2$ равна:

$\epsilon_2 = \frac{\Delta l_2}{l_2} = \frac{0,005 \text{ мм}}{2,48 \text{ мм}} \approx 0,002016...$

Округляя результат и выражая в процентах, получаем: $\epsilon_2 \approx 0,002 \cdot 100\% = 0,2\%$.

Ответ: Промежуток, в котором находится точное значение: $[2,475 \text{ мм}; 2,485 \text{ мм}]$; относительная погрешность: $\approx 0,2\%$.