Страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

157 Укажите, с какой точностью приведены в справочнике следующие данные:

а) площадь Мирового океана Земли равна $366,1 \cdot 10^6 \text{ км}^2$;

б) территория России составляет $1,27 \cdot 10^7 \text{ км}^2$;

в) масса электрона равна $0,91 \cdot 10^{-24} \text{ г}$;

г) диаметр молекулы воды равен $2,8 \cdot 10^{-7} \text{ мм}$;

д) расстояние от планеты Марс до Солнца равно $228,0 \text{ млн км}$;

е) площадь поверхности Земли равна $510,2 \text{ млн км}^2$.

Точность приведенных данных определяется последней значащей цифрой в их записи. Если число представлено в виде $a \cdot 10^n$, то точность равна (точность числа $a$) $\cdot 10^n$.

а) площадь Мирового океана Земли равна 366,1 · 10⁶ км²

Значение дано как $366,1 \cdot 10^6$ км². В числе $366,1$ последняя значащая цифра '1' стоит в разряде десятых, следовательно, точность мантиссы составляет $0,1$. Точность всего значения: $0,1 \cdot 10^6 \text{ км}^2 = 100\;000 \text{ км}^2$. Это также можно записать как $0,1$ млн км².

Ответ: до $0,1 \cdot 10^6$ км², то есть до 100 000 км².

б) территория России составляет 1,27 · 10⁷ км²

Значение дано как $1,27 \cdot 10^7$ км². В числе $1,27$ последняя значащая цифра '7' стоит в разряде сотых, поэтому точность мантиссы равна $0,01$. Точность всего значения: $0,01 \cdot 10^7 \text{ км}^2 = 10^{-2} \cdot 10^7 \text{ км}^2 = 10^5 \text{ км}^2 = 100\;000 \text{ км}^2$.

Ответ: до $0,01 \cdot 10^7$ км², то есть до 100 000 км².

в) масса электрона равна 0,91 · 10⁻²⁴ г

Значение дано как $0,91 \cdot 10^{-24}$ г. В числе $0,91$ последняя значащая цифра '1' находится в разряде сотых. Точность мантиссы равна $0,01$. Точность всего значения: $0,01 \cdot 10^{-24} \text{ г} = 10^{-2} \cdot 10^{-24} \text{ г} = 10^{-26} \text{ г}$.

Ответ: до $0,01 \cdot 10^{-24}$ г, то есть до $10^{-26}$ г.

г) диаметр молекулы воды равен 2,8 · 10⁻⁷ мм

Значение дано как $2,8 \cdot 10^{-7}$ мм. В числе $2,8$ последняя значащая цифра '8' находится в разряде десятых, поэтому точность мантиссы равна $0,1$. Точность всего значения: $0,1 \cdot 10^{-7} \text{ мм} = 10^{-1} \cdot 10^{-7} \text{ мм} = 10^{-8} \text{ мм}$.

Ответ: до $0,1 \cdot 10^{-7}$ мм, то есть до $10^{-8}$ мм.

д) расстояние от планеты Марс до Солнца равно 228,0 млн км

Значение дано как $228,0$ млн км. Наличие нуля в разряде десятых ($228,0$) указывает на то, что это значащая цифра. Таким образом, точность составляет $0,1$ млн км. $0,1 \text{ млн км} = 0,1 \cdot 1\;000\;000 \text{ км} = 100\;000 \text{ км}$.

Ответ: до 0,1 млн км, то есть до 100 000 км.

е) площадь поверхности Земли равна 510,2 млн км²

Значение дано как $510,2$ млн км². Последняя значащая цифра '2' находится в разряде десятых. Следовательно, точность составляет $0,1$ млн км². $0,1 \text{ млн км}^2 = 0,1 \cdot 1\;000\;000 \text{ км}^2 = 100\;000 \text{ км}^2$.

Ответ: до 0,1 млн км², то есть до 100 000 км².

158 При измерении толщины одной и той же металлической детали штангенциркулем и микрометром полученные результаты записали соответственно в виде $l \approx 2,5 \text{ мм}$ и $l \approx 2,48 \text{ мм}$. В каждом случае укажите промежуток, в котором находится точное значение этой величины, и найдите относительную погрешность измерения.

Для решения задачи необходимо определить абсолютную и относительную погрешности для каждого измерения. Абсолютная погрешность прямого измерения обычно принимается равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Цена деления определяется по последнему значащему разряду в записи результата.

1. Измерение штангенциркулем

Результат измерения: $l_1 \approx 2,5$ мм. Последний значащий разряд — десятые, следовательно, цена деления прибора составляет 0,1 мм.

Абсолютная погрешность измерения $\Delta l_1$ равна половине цены деления:

$\Delta l_1 = \frac{0,1 \text{ мм}}{2} = 0,05$ мм.

Точное значение величины $l$ находится в промежутке от $(l_1 - \Delta l_1)$ до $(l_1 + \Delta l_1)$:

$2,5 \text{ мм} - 0,05 \text{ мм} \le l \le 2,5 \text{ мм} + 0,05 \text{ мм}$

$2,45 \text{ мм} \le l \le 2,55 \text{ мм}$

Относительная погрешность $\epsilon_1$ — это отношение абсолютной погрешности к измеренному значению:

$\epsilon_1 = \frac{\Delta l_1}{l_1} = \frac{0,05 \text{ мм}}{2,5 \text{ мм}} = 0,02$

В процентах относительная погрешность составляет: $\epsilon_1 = 0,02 \cdot 100\% = 2\%$.

Ответ: Промежуток, в котором находится точное значение: $[2,45 \text{ мм}; 2,55 \text{ мм}]$; относительная погрешность: $2\%$.

2. Измерение микрометром

Результат измерения: $l_2 \approx 2,48$ мм. Последний значащий разряд — сотые, следовательно, цена деления прибора составляет 0,01 мм.

Абсолютная погрешность измерения $\Delta l_2$ равна:

$\Delta l_2 = \frac{0,01 \text{ мм}}{2} = 0,005$ мм.

Точное значение величины $l$ находится в промежутке от $(l_2 - \Delta l_2)$ до $(l_2 + \Delta l_2)$:

$2,48 \text{ мм} - 0,005 \text{ мм} \le l \le 2,48 \text{ мм} + 0,005 \text{ мм}$

$2,475 \text{ мм} \le l \le 2,485 \text{ мм}$

Относительная погрешность $\epsilon_2$ равна:

$\epsilon_2 = \frac{\Delta l_2}{l_2} = \frac{0,005 \text{ мм}}{2,48 \text{ мм}} \approx 0,002016...$

Округляя результат и выражая в процентах, получаем: $\epsilon_2 \approx 0,002 \cdot 100\% = 0,2\%$.

Ответ: Промежуток, в котором находится точное значение: $[2,475 \text{ мм}; 2,485 \text{ мм}]$; относительная погрешность: $\approx 0,2\%$.

159 На токарном станке вытачивают круглые пластины диаметром $d = 5 \pm 0,1$ см. В результате применения новых технологий относительную погрешность, допускаемую при изготовлении детали, удалось уменьшить на 1%. В каком промежутке теперь заключается точное значение диаметра детали?

Изначально диаметр пластины задан как $d = 5 \pm 0,1$ см. Это означает, что номинальное значение диаметра $d_0 = 5$ см, а абсолютная погрешность $\Delta d_{старая} = 0,1$ см.

Найдем первоначальную относительную погрешность. Относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле $\delta = \frac{\Delta d}{d_0}$. Подставив исходные значения, получаем:

В процентах это составляет $0,02 \times 100\% = 2\%$.

По условию, относительную погрешность удалось уменьшить на $1\%$. Это означает, что новая относительная погрешность стала на 1 процентный пункт меньше старой:

Теперь найдем новую абсолютную погрешность $\Delta d_{новая}$, используя новую относительную погрешность и номинальный диаметр:

Следовательно, новое значение диаметра с учетом погрешности будет $d = 5 \pm 0,05$ см. Это означает, что точное значение диаметра детали $d$ теперь заключено в промежутке:

Ответ: точное значение диаметра детали теперь заключено в промежутке от 4,95 см до 5,05 см.