Страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

131 Сравните с нулём значение данных выражений $(y - 3)(y - 5)$, $(3 - y)(y - 5)$, $(5 - y)(3 - y)$, если известно, что:

а) $y < 3$;

б) $y > 5$;

в) $3 < y < 5$.

а) Если известно, что $y < 3$.
1. Рассмотрим выражение $(y - 3)(y - 5)$.
Поскольку $y < 3$, то множитель $(y - 3)$ будет отрицательным ($y - 3 < 0$).
Поскольку $y < 3$, то тем более $y < 5$, значит, множитель $(y - 5)$ также будет отрицательным ($y - 5 < 0$).
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, следовательно, $(y - 3)(y - 5) > 0$.
2. Рассмотрим выражение $(3 - y)(y - 5)$.
Поскольку $y < 3$, то множитель $(3 - y)$ будет положительным ($3 - y > 0$).
Поскольку $y < 3$, то множитель $(y - 5)$ будет отрицательным ($y - 5 < 0$).
Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом, следовательно, $(3 - y)(y - 5) < 0$.
3. Рассмотрим выражение $(5 - y)(3 - y)$.
Поскольку $y < 3$, то $y < 5$, значит, множитель $(5 - y)$ будет положительным ($5 - y > 0$).
Поскольку $y < 3$, то множитель $(3 - y)$ будет положительным ($3 - y > 0$).
Произведение двух положительных чисел является положительным числом, следовательно, $(5 - y)(3 - y) > 0$.
Ответ: $(y - 3)(y - 5) > 0$; $(3 - y)(y - 5) < 0$; $(5 - y)(3 - y) > 0$.

б) Если известно, что $y > 5$.
1. Рассмотрим выражение $(y - 3)(y - 5)$.
Поскольку $y > 5$, то тем более $y > 3$, значит, множитель $(y - 3)$ будет положительным ($y - 3 > 0$).
Поскольку $y > 5$, то множитель $(y - 5)$ также будет положительным ($y - 5 > 0$).
Произведение двух положительных чисел является положительным числом, следовательно, $(y - 3)(y - 5) > 0$.
2. Рассмотрим выражение $(3 - y)(y - 5)$.
Поскольку $y > 5$, то $y > 3$, значит, множитель $(3 - y)$ будет отрицательным ($3 - y < 0$).
Поскольку $y > 5$, то множитель $(y - 5)$ будет положительным ($y - 5 > 0$).
Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом, следовательно, $(3 - y)(y - 5) < 0$.
3. Рассмотрим выражение $(5 - y)(3 - y)$.
Поскольку $y > 5$, то множитель $(5 - y)$ будет отрицательным ($5 - y < 0$).
Поскольку $y > 5$, то $y > 3$, значит, множитель $(3 - y)$ также будет отрицательным ($3 - y < 0$).
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, следовательно, $(5 - y)(3 - y) > 0$.
Ответ: $(y - 3)(y - 5) > 0$; $(3 - y)(y - 5) < 0$; $(5 - y)(3 - y) > 0$.

в) Если известно, что $3 < y < 5$.
1. Рассмотрим выражение $(y - 3)(y - 5)$.
Поскольку $y > 3$, то множитель $(y - 3)$ будет положительным ($y - 3 > 0$).
Поскольку $y < 5$, то множитель $(y - 5)$ будет отрицательным ($y - 5 < 0$).
Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом, следовательно, $(y - 3)(y - 5) < 0$.
2. Рассмотрим выражение $(3 - y)(y - 5)$.
Поскольку $y > 3$, то множитель $(3 - y)$ будет отрицательным ($3 - y < 0$).
Поскольку $y < 5$, то множитель $(y - 5)$ будет отрицательным ($y - 5 < 0$).
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, следовательно, $(3 - y)(y - 5) > 0$.
3. Рассмотрим выражение $(5 - y)(3 - y)$.
Поскольку $y < 5$, то множитель $(5 - y)$ будет положительным ($5 - y > 0$).
Поскольку $y > 3$, то множитель $(3 - y)$ будет отрицательным ($3 - y < 0$).
Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом, следовательно, $(5 - y)(3 - y) < 0$.
Ответ: $(y - 3)(y - 5) < 0$; $(3 - y)(y - 5) > 0$; $(5 - y)(3 - y) < 0$.

132. Известно, что $a, b$ и $c$ — длины сторон треугольника. Определите, положительным или отрицательным числом является значение выражения:

а) $a + b - c$;

б) $a - b - c$;

в) $a + c - b$;

г) $c - a - b$.

а) a + b - c;

Для решения этой задачи используется свойство, известное как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для сторон $a$, $b$ и $c$ это можно записать в виде трех неравенств:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

Рассмотрим выражение $a + b - c$. Используя первое неравенство $a + b > c$, мы можем вычесть $c$ из обеих его частей, что дает нам $a + b - c > 0$. Это означает, что значение выражения всегда положительно.
Ответ: положительное.

б) a - b - c;

Это выражение можно переписать, вынеся знак минуса за скобки: $a - (b + c)$. Из неравенства треугольника мы знаем, что $b + c > a$. Так как из меньшего числа $a$ вычитается большее число $(b+c)$, результат всегда будет отрицательным.
Математически, если $b + c > a$, то $a - (b+c) < 0$.
Следовательно, значение выражения $a - b - c$ отрицательно.
Ответ: отрицательное.

в) a + c - b;

Для этого выражения мы используем другое неравенство треугольника: $a + c > b$. Если мы вычтем $b$ из обеих частей этого неравенства, мы получим $a + c - b > 0$.
Таким образом, значение выражения всегда положительно.
Ответ: положительное.

г) c - a - b.

Данное выражение можно переписать как $c - (a + b)$. Снова обратимся к неравенству треугольника, которое гласит, что $a + b > c$. Поскольку мы из меньшего числа $c$ вычитаем большее число $(a+b)$, разность будет отрицательной.
Формально, если $a+b>c$, то $c-(a+b)<0$.
Значит, значение выражения $c - a - b$ является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

133 Докажите, что полупериметр треугольника больше любой из его сторон.

Пусть дан треугольник со сторонами, длины которых равны $a$, $b$ и $c$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон, то есть $P = a + b + c$.

Полупериметр $p$ по определению равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2}$.

Необходимо доказать, что полупериметр больше любой из сторон треугольника. Это означает, что мы должны доказать справедливость трех неравенств: $p > a$, $p > b$ и $p > c$.

Для доказательства воспользуемся фундаментальным свойством любого треугольника — неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины оставшейся третьей стороны. Для нашего треугольника это записывается в виде системы неравенств:

$b + c > a$
$a + c > b$
$a + b > c$

Теперь докажем каждое из трех утверждений для полупериметра.

1. Докажем, что $p > a$.
Возьмем доказываемое неравенство и подставим в него формулу для полупериметра:
$\frac{a + b + c}{2} > a$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$a + b + c > 2a$
Теперь вычтем $a$ из обеих частей неравенства:
$b + c > a$
Полученное неравенство $b + c > a$ является одним из условий неравенства треугольника, поэтому оно всегда истинно. Следовательно, и равносильное ему исходное неравенство $p > a$ также истинно.

2. Докажем, что $p > b$.
Проведем аналогичные преобразования:
$\frac{a + b + c}{2} > b$
$a + b + c > 2b$
$a + c > b$
Это также одно из неравенств треугольника, а значит, оно верно. Таким образом, неравенство $p > b$ доказано.

3. Докажем, что $p > c$.
Повторим шаги для третьей стороны:
$\frac{a + b + c}{2} > c$
$a + b + c > 2c$
$a + b > c$
Это последнее из трех неравенств треугольника, и оно также является верным. Значит, неравенство $p > c$ доказано.

Таким образом, мы показали, что полупериметр треугольника больше каждой из его трех сторон, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для любой стороны треугольника, например стороны $a$, неравенство $p > a$ справедливо, так как оно эквивалентно верному неравенству треугольника $b + c > a$. Аналогичные рассуждения применимы и для сторон $b$ и $c$.

134 Докажите разными способами свойство неравенств: если $a > b$ и $c > d$ и $a, b, c, d$ — числа положительные, то $ac > bd$.

Подсказка.

Способ 1. Сравните разность $ac - bd$ с нулём:

$ac - bd = ac - bd + bc - bc = \dots$

Способ 2. Воспользуйтесь свойством транзитивности неравенств.

Способ 1.

Чтобы доказать, что $ac > bd$, достаточно показать, что их разность $ac - bd$ является положительным числом. Для этого сравним разность $ac - bd$ с нулём.

По условию дано:

• $a > b$
• $c > d$
• $a, b, c, d$ — положительные числа ($a>0, b>0, c>0, d>0$)

Преобразуем выражение $ac - bd$, прибавив и вычтя одно и то же слагаемое $bc$ (это не изменит значение выражения), а затем сгруппируем слагаемые:

$ac - bd = ac - bc + bc - bd = (ac - bc) + (bc - bd)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$

Теперь проанализируем знаки получившихся произведений:

1. Из условия $a > b$ следует, что разность $(a - b)$ положительна: $a - b > 0$.
2. Из условия $c > d$ следует, что разность $(c - d)$ положительна: $c - d > 0$.
3. По условию числа $b$ и $c$ также положительны: $b > 0$ и $c > 0$.

Рассмотрим первое слагаемое $c(a - b)$. Это произведение двух положительных чисел ($c > 0$ и $a - b > 0$), следовательно, оно положительно: $c(a - b) > 0$.

Рассмотрим второе слагаемое $b(c - d)$. Это также произведение двух положительных чисел ($b > 0$ и $c - d > 0$), следовательно, оно тоже положительно: $b(c - d) > 0$.

Таким образом, разность $ac - bd$ равна сумме двух положительных чисел $c(a - b)$ и $b(c - d)$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

$ac - bd = c(a - b) + b(c - d) > 0$

Так как $ac - bd > 0$, то $ac > bd$, что и требовалось доказать.

Ответ: Сравнение разности $ac - bd$ с нулём показывает, что $ac - bd = c(a-b) + b(c-d)$. Так как по условию $a>b$, $c>d$ и числа $b, c$ положительные, то множители $c$, $(a-b)$, $b$, $(c-d)$ положительны. Следовательно, вся сумма положительна, а значит $ac > bd$.

Способ 2.

Воспользуемся свойствами числовых неравенств и свойством транзитивности.

Дано: $a > b$ и $c > d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа.

Возьмём первое неравенство $a > b$. Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число $c$ (по условию $c>0$):

$a \cdot c > b \cdot c$, то есть $ac > bc$.

Теперь возьмём второе неравенство $c > d$. Умножим обе его части на положительное число $b$ (по условию $b>0$):

$c \cdot b > d \cdot b$, то есть $bc > bd$.

Мы получили два неравенства:

1. $ac > bc$
2. $bc > bd$

Теперь применим свойство транзитивности неравенств, которое гласит: если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$.

В нашем случае $ac > bc$ и $bc > bd$. Отсюда по свойству транзитивности следует, что $ac > bd$. Утверждение доказано.

Ответ: Умножив неравенство $a > b$ на положительное число $c$, получаем $ac > bc$. Умножив неравенство $c > d$ на положительное число $b$, получаем $bc > bd$. По свойству транзитивности из $ac > bc$ и $bc > bd$ следует, что $ac > bd$.

135 Докажите, что для положительных чисел p и q:

а) $p^3 + q^3 \ge p^2 q + pq^2$;

б) $p^4 + q^4 \ge p^3 q + pq^3$.

а)

Для доказательства неравенства $p^3 + q^3 \geq p^2q + pq^2$ перенесем все члены в левую часть и преобразуем выражение:
$p^3 + q^3 - p^2q - pq^2 \geq 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(p^3 - p^2q) + (q^3 - pq^2) \geq 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$p^2(p - q) - q^2(p - q) \geq 0$
Вынесем общий множитель $(p - q)$:
$(p^2 - q^2)(p - q) \geq 0$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(p - q)(p + q)(p - q) \geq 0$
$(p - q)^2(p + q) \geq 0$

Полученное неравенство является верным для любых положительных $p$ и $q$, так как:
1. $(p - q)^2 \geq 0$ как квадрат любого действительного числа.
2. $p + q > 0$, поскольку по условию $p$ и $q$ — положительные числа.

Произведение неотрицательного множителя $(p - q)^2$ и положительного множителя $(p + q)$ всегда неотрицательно. Следовательно, исходное неравенство доказано. Равенство в неравенстве достигается, когда $(p-q)^2 = 0$, то есть при $p=q$.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $p^4 + q^4 \geq p^3q + pq^3$ перенесем все члены в левую часть и преобразуем выражение:
$p^4 + q^4 - p^3q - pq^3 \geq 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(p^4 - p^3q) + (q^4 - pq^3) \geq 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$p^3(p - q) - q^3(p - q) \geq 0$
Вынесем общий множитель $(p - q)$:
$(p^3 - q^3)(p - q) \geq 0$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(p - q)(p^2 + pq + q^2)(p - q) \geq 0$
$(p - q)^2(p^2 + pq + q^2) \geq 0$

Полученное неравенство является верным для любых положительных $p$ и $q$, так как:
1. $(p - q)^2 \geq 0$ как квадрат любого действительного числа.
2. $p^2 + pq + q^2 > 0$. Поскольку по условию $p > 0$ и $q > 0$, то $p^2 > 0$, $pq > 0$, $q^2 > 0$, и их сумма также строго положительна.

Произведение неотрицательного множителя $(p - q)^2$ и положительного множителя $(p^2 + pq + q^2)$ всегда неотрицательно. Следовательно, исходное неравенство доказано. Равенство достигается, когда $(p-q)^2 = 0$, то есть при $p=q$.

Ответ: Неравенство доказано.

136 Докажите неравенство:

a) $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b);$

б) $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2(a + b + c).$

а)

Чтобы доказать неравенство $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b)$, выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$a^2 + b^2 + 2 - 2(a + b) \ge 0$

Раскроем скобки:

$a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b \ge 0$

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Представим число 2 как $1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Теперь свернем каждую группу слагаемых по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю), а сумма двух неотрицательных величин также неотрицательна. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2(a + b + c)$ воспользуемся аналогичным методом. Перенесем все члены из правой части в левую:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2(a + b + c) \ge 0$

Раскроем скобки:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2a - 2b - 2c \ge 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим число 3 как $1 + 1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \ge 0$

Свернем каждую группу слагаемых, используя формулу квадрата разности:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \ge 0$

Данное неравенство истинно для любых действительных чисел $a, b, c$, так как $(a-1)^2 \ge 0$, $(b-1)^2 \ge 0$ и $(c-1)^2 \ge 0$. Сумма трех неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство, будучи равносильным последнему, также верно.

Ответ: Неравенство доказано.

137 Докажите разными способами, что:

a) если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$;

б) если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$.

Подсказка. а) Способ 1. Сравните разность между левой и правой частями неравенства с нулём.

Способ 2. Воспользуйтесь неравенством, доказанным в примере 3.

а)

Требуется доказать, что если $a > b > 0$, то $a^2 + a > b^2 + b$. Докажем это двумя способами.

Способ 1. Сравнение разности с нулём.

Рассмотрим разность левой и правой частей доказываемого неравенства и преобразуем её:

$(a^2 + a) - (b^2 + b) = a^2 + a - b^2 - b = (a^2 - b^2) + (a - b)$

Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим:

$(a - b)(a + b) + (a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a + b + 1)$

Теперь оценим знак полученного выражения, используя условие $a > b > 0$.

1. Из $a > b$ следует, что множитель $(a - b)$ положителен: $a - b > 0$.

2. Из $a > 0$ и $b > 0$ следует, что их сумма $a + b > 0$. Тогда множитель $(a + b + 1)$ также положителен: $a + b + 1 > 1 > 0$.

Произведение двух положительных выражений $(a - b)$ и $(a + b + 1)$ является положительным числом. Значит, $(a^2 + a) - (b^2 + b) > 0$.

Отсюда следует, что $a^2 + a > b^2 + b$, что и требовалось доказать.

Способ 2. Использование свойств числовых неравенств.

По условию даны два факта: $a > b$ и $b > 0$.

1. Поскольку $a > b$ и оба числа положительны, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, сохранив знак неравенства: $a^2 > b^2$.

2. У нас также есть исходное неравенство $a > b$.

Теперь мы имеем систему из двух верных неравенств одного знака:

$a^2 > b^2$

$a > b$

Сложим эти неравенства почленно (левую часть с левой, правую — с правой):

$a^2 + a > b^2 + b$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать, что если $a > 1$ и $b > 0$, то $ab + a > b + 1$. Докажем это двумя способами.

Способ 1. Сравнение разности с нулём.

Рассмотрим разность левой и правой частей доказываемого неравенства и преобразуем её, сгруппировав слагаемые:

$(ab + a) - (b + 1) = ab + a - b - 1 = (ab - b) + (a - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$b(a - 1) + 1(a - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки:

$(a - 1)(b + 1)$

Оценим знак полученного выражения, используя условия $a > 1$ и $b > 0$.

1. Из $a > 1$ следует, что множитель $(a - 1)$ положителен: $a - 1 > 0$.

2. Из $b > 0$ следует, что множитель $(b + 1)$ положителен: $b + 1 > 1 > 0$.

Произведение двух положительных выражений $(a - 1)$ и $(b + 1)$ является положительным числом. Значит, $(ab + a) - (b + 1) > 0$.

Отсюда следует, что $ab + a > b + 1$, что и требовалось доказать.

Способ 2. Использование свойств числовых неравенств.

Начнём с исходных условий: $a > 1$ и $b > 0$.

Из условия $b > 0$ следует, что выражение $b + 1$ положительно: $b + 1 > 1 > 0$.

Возьмём неравенство $a > 1$. Мы можем умножить обе его части на положительное число $(b + 1)$, при этом знак неравенства не изменится:

$a \cdot (b + 1) > 1 \cdot (b + 1)$

Раскрыв скобки в обеих частях, получим:

$ab + a > b + 1$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

138 Проиллюстрируйте геометрически следующий факт: если $a$ и $b$ — положительные числа, то $a^3 > b^3$ в том и только в том случае, когда $a > b$. Докажите этот факт алгебраически.

Подсказка. В качестве образца для доказательства используйте пример 3.

Геометрическая иллюстрация

Рассмотрим два куба. Пусть длина ребра первого куба равна $a$, а длина ребра второго куба равна $b$. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа, эти кубы существуют в трехмерном пространстве.

Объем первого куба равен $V_1 = a^3$.
Объем второго куба равен $V_2 = b^3$.

Утверждение "если $a > b$, то $a^3 > b^3$" геометрически означает, что если ребро одного куба длиннее ребра другого куба, то и его объем будет больше. Это интуитивно понятно: куб с большим ребром вмещает в себя куб с меньшим ребром и еще дополнительное пространство, следовательно, его объем больше.

Обратное утверждение "если $a^3 > b^3$, то $a > b$" геометрически означает, что если объем одного куба больше объема другого, то и его ребро должно быть длиннее. Если бы его ребро было короче или равно ребру второго куба ($a \le b$), то его объем был бы меньше или равен объему второго ($a^3 \le b^3$), что противоречит исходному условию $a^3 > b^3$.

Таким образом, геометрическая интерпретация подтверждает, что для положительных $a$ и $b$ неравенство $a^3 > b^3$ эквивалентно неравенству $a > b$.

Ответ: Факт проиллюстрирован сравнением объемов двух кубов с длинами ребер $a$ и $b$. Куб с большим ребром всегда имеет больший объем, и наоборот.

Алгебраическое доказательство

Нам нужно доказать, что для положительных чисел $a$ и $b$ неравенство $a^3 > b^3$ выполняется тогда и только тогда, когда $a > b$. Это требует доказательства двух взаимно обратных утверждений.

1. Доказательство прямого утверждения: если $a > b$, то $a^3 > b^3$.

Рассмотрим разность $a^3 - b^3$. Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Проанализируем знаки множителей в правой части равенства:

• По условию $a > b$, следовательно, разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.
• Выражение $a^2 + ab + b^2$ является неполным квадратом суммы. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0$, $b > 0$), то каждое слагаемое в этой сумме положительно: $a^2 > 0$, $ab > 0$, $b^2 > 0$. Сумма трех положительных чисел всегда положительна, значит, $a^2 + ab + b^2 > 0$.

Так как оба множителя $(a - b)$ и $(a^2 + ab + b^2)$ положительны, их произведение также будет положительным. Следовательно, $a^3 - b^3 > 0$, что равносильно $a^3 > b^3$. Утверждение доказано.

2. Доказательство обратного утверждения: если $a^3 > b^3$, то $a > b$.

Начнем с условия $a^3 > b^3$. Перенесем $b^3$ в левую часть: $a^3 - b^3 > 0$.

Снова разложим левую часть на множители: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$.

Как мы уже установили в первой части, для положительных $a$ и $b$ множитель $(a^2 + ab + b^2)$ всегда строго положителен.

Неравенство представляет собой произведение двух множителей, которое больше нуля. Если один из множителей ($(a^2 + ab + b^2)$) положителен, то для выполнения неравенства второй множитель ($(a - b)$) также обязан быть положительным.

Таким образом, из $(a - b)(a^2 + ab + b^2) > 0$ и $a^2 + ab + b^2 > 0$ следует, что $a - b > 0$.

Из $a - b > 0$ получаем $a > b$. Утверждение доказано.

Так как мы доказали оба утверждения, мы полностью доказали исходный факт.

Ответ: Утверждение доказано алгебраически путем анализа знаков множителей в формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.