Страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

119 При каких значениях с система неравенств

$ \begin{cases} 2x - 17 \ge 0 \\ x - c \le 0: \end{cases} $

a) имеет решения;

б) не имеет решений;

в) имеет только одно решение?

Для того чтобы ответить на поставленные вопросы, решим данную систему неравенств относительно переменной $x$.

Система неравенств:

Решим первое неравенство:

$2x - 17 \ge 0$

$2x \ge 17$

$x \ge \frac{17}{2}$

$x \ge 8.5$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[8.5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x - c \le 0$

$x \le c$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; c]$.

Решением системы является пересечение этих двух промежутков, то есть все значения $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $8.5 \le x \le c$. Это соответствует отрезку $[8.5; c]$.

Теперь проанализируем, при каких значениях параметра $c$ выполняются условия из каждого пункта.

а) имеет решения

Система неравенств имеет решения, если отрезок $[8.5; c]$ не является пустым множеством. Для этого левая граница отрезка должна быть меньше или равна правой границе.

То есть, должно выполняться условие: $8.5 \le c$.

Если $c > 8.5$, решением является отрезок $[8.5; c]$, содержащий бесконечное множество решений. Если $c = 8.5$, решением является одно число $x = 8.5$. В обоих случаях решения существуют.

Ответ: $c \ge 8.5$ (или $c \in [8.5; +\infty)$).

б) не имеет решений

Система неравенств не имеет решений, если отрезок $[8.5; c]$ является пустым множеством. Это происходит, когда левая граница отрезка строго больше правой границы.

То есть, должно выполняться условие: $8.5 > c$, что то же самое, что $c < 8.5$.

В этом случае не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно не меньше $8.5$ и не больше $c$.

Ответ: $c < 8.5$ (или $c \in (-\infty; 8.5)$).

в) имеет только одно решение

Система неравенств имеет ровно одно решение, если отрезок $[8.5; c]$ вырождается в одну точку. Это возможно только в том случае, когда его левая и правая границы совпадают.

То есть, должно выполняться условие: $8.5 = c$.

При $c=8.5$ система принимает вид:

Единственное число, удовлетворяющее этой системе, — это $x = 8.5$.

Ответ: $c = 8.5$.

120 1) Найдите промежуток, на котором функции $y = -2x + 4$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$ одновременно принимают положительные значения. Начертите в одной системе координат графики этих функций и отметьте на оси $x$ соответствующий промежуток.

2) Укажите какое-нибудь значение аргумента, не принадлежащее отмеченному промежутку, и определите знак каждой из функций при этом значении.

3) Существуют ли значения аргумента, при которых обе функции отрицательны? Проверьте свой ответ, решив систему неравенств.

1)

Чтобы найти промежуток, на котором функции $y = -2x + 4$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$ одновременно принимают положительные значения, необходимо решить систему линейных неравенств:

$$ \begin{cases} -2x + 4 > 0 \\ \frac{1}{2}x + 2 > 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

$-2x + 4 > 0$

$-2x > -4$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Второе неравенство:

$\frac{1}{2}x + 2 > 0$

$\frac{1}{2}x > -2$

Умножим обе части на 2:

$x > -4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 2$ и $x > -4$. Это соответствует промежутку $(-4, 2)$.

Теперь начертим графики этих функций в одной системе координат. Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой найдем по две точки.

Для функции $y_1 = -2x + 4$:

• Если $x=0$, то $y_1 = -2(0) + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.
• Если $y_1=0$, то $0 = -2x + 4$, откуда $2x = 4$, $x=2$. Точка $(2, 0)$.

Для функции $y_2 = \frac{1}{2}x + 2$:

• Если $x=0$, то $y_2 = \frac{1}{2}(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y_2=0$, то $0 = \frac{1}{2}x + 2$, откуда $\frac{1}{2}x = -2$, $x=-4$. Точка $(-4, 0)$.

Построим график и отметим на оси $x$ промежуток $(-4, 2)$.

На графике видно, что обе прямые (синяя и красная) находятся выше оси $x$ (то есть $y>0$) на интервале от $-4$ до $2$. Этот промежуток выделен на оси $x$ зеленой линией. Точки $x=-4$ и $x=2$ не включаются в промежуток, так как в них одна из функций равна нулю.

Ответ: Промежуток, на котором обе функции принимают положительные значения, — $x \in (-4, 2)$.

2)

Укажем значение аргумента, не принадлежащее отмеченному промежутку $(-4, 2)$. Возьмем, например, $x = 4$.

Определим знак каждой из функций при этом значении.

Для функции $y = -2x + 4$:

$y(4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Значение функции отрицательное (знак "минус").

Для функции $y = \frac{1}{2}x + 2$:

$y(4) = \frac{1}{2}(4) + 2 = 2 + 2 = 4$.

Значение функции положительное (знак "плюс").

Ответ: При $x=4$ (значение не из промежутка $(-4, 2)$), функция $y = -2x + 4$ отрицательна (равна $-4$), а функция $y = \frac{1}{2}x + 2$ положительна (равна $4$).

3)

Чтобы выяснить, существуют ли значения аргумента, при которых обе функции отрицательны, решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2x + 4 < 0 \\ \frac{1}{2}x + 2 < 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство.

Первое неравенство:

$-2x + 4 < 0$

$-2x < -4$

$x > 2$

Второе неравенство:

$\frac{1}{2}x + 2 < 0$

$\frac{1}{2}x < -2$

$x < -4$

Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x > 2$ и $x < -4$.

Не существует числа, которое было бы одновременно больше $2$ и меньше $-4$. Таким образом, пересечение множеств решений $x \in (2, +\infty)$ и $x \in (-\infty, -4)$ является пустым множеством.

Следовательно, система неравенств не имеет решений.

Ответ: Не существуют такие значения аргумента, при которых обе функции отрицательны.

121 Для функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ найдите множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны; одна из них отрицательна, а другая положительна; обе положительны. Проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков.

a) $f(x) = 2x + 1, g(x) = x - 3;$

б) $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1, g(x) = \frac{1}{2}x - 2.$

Для решения задачи найдем нули каждой функции, то есть точки пересечения их графиков с осью абсцисс. Эти точки разделят числовую ось на интервалы, в каждом из которых знаки функций будут постоянны.
Для функции $f(x) = 2x + 1$: $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
Для функции $g(x) = x - 3$: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Таким образом, мы имеем три интервала для анализа: $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 3)$ и $(3; \infty)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны

Необходимо решить систему неравенств $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$: $$ \begin{cases} 2x + 1 < 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x < -1 \\ x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -0.5 \\ x < 3 \end{cases} $$ Пересечением решений является интервал $x < -0.5$.
Ответ: $(-\infty; -0.5)$.

Множество значений аргумента, на котором одна из них отрицательна, а другая положительна

Это условие выполняется, когда функции имеют разные знаки. Такое возможно на интервале между их нулями, то есть $(-0.5; 3)$. Проверим знаки, взяв любую точку из этого интервала, например $x=0$:
$f(0) = 2(0) + 1 = 1 > 0$
$g(0) = 0 - 3 = -3 < 0$
Действительно, на этом интервале $f(x) > 0$, а $g(x) < 0$.
Ответ: $(-0.5; 3)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции положительны

Необходимо решить систему неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$: $$ \begin{cases} 2x + 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -0.5 \\ x > 3 \end{cases} $$ Пересечением решений является интервал $x > 3$.
Ответ: $(3; \infty)$.

Иллюстрация решения с помощью графиков

На графике показаны функции $f(x)$ (синяя линия) и $g(x)$ (красная линия). Вертикальные пунктирные линии, проведенные через нули функций ($x=-0.5$ и $x=3$), показывают области с постоянными знаками функций.

Аналогично предыдущему пункту, найдем нули функций:
Для функции $f(x) = -\frac{1}{2}x + 1$: $-\frac{1}{2}x + 1 = 0 \implies 1 = \frac{1}{2}x \implies x = 2$.
Для функции $g(x) = \frac{1}{2}x - 2$: $\frac{1}{2}x - 2 = 0 \implies \frac{1}{2}x = 2 \implies x = 4$.

Интервалы для анализа: $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; \infty)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны

Решим систему неравенств $f(x) < 0$ и $g(x) < 0$: $$ \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 < 0 \\ \frac{1}{2}x - 2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 < \frac{1}{2}x \\ \frac{1}{2}x < 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 < x \\ x < 4 \end{cases} $$ Решением системы является интервал $2 < x < 4$.
Ответ: $(2; 4)$.

Множество значений аргумента, на котором одна из них отрицательна, а другая положительна

Это условие выполняется на объединении интервалов $(-\infty; 2)$ и $(4; \infty)$.
На интервале $(-\infty; 2)$ (например, при $x=0$): $f(0)=1 > 0$, $g(0)=-2 < 0$.
На интервале $(4; \infty)$ (например, при $x=6$): $f(6)=-3+1=-2 < 0$, $g(6)=3-2=1 > 0$.
Ответ: $(-\infty; 2) \cup (4; \infty)$.

Множество значений аргумента, на котором обе функции положительны

Решим систему неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$: $$ \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1 > 0 \\ \frac{1}{2}x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 > \frac{1}{2}x \\ \frac{1}{2}x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 > x \\ x > 4 \end{cases} $$ Система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше 2 и больше 4.
Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

Иллюстрация решения с помощью графиков

На графике синим цветом показан график функции $y = f(x)$, а красным — $y = g(x)$. Вертикальные пунктирные линии, проведенные через нули функций ($x=2$ и $x=4$), показывают соответствующие области.

122 Определите, при каких значениях а данное выражение имеет смысл. Укажите по три значения переменной а, при которых данное выражение имеет смысл и при которых оно не имеет смысла:

а) $\sqrt{a-1} + \sqrt{a+1};$

б) $\sqrt{3a+2} - \sqrt{1-2a};$

в) $\sqrt{-3a} \cdot \sqrt{a+3};$

г) $\frac{\sqrt{2-\frac{a}{3}}}{\sqrt{1-\frac{a}{2}}}.$

а) Данное выражение $\sqrt{a-1} + \sqrt{a+1}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} a-1 \ge 0 \\ a+1 \ge 0 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$\begin{cases} a \ge 1 \\ a \ge -1 \end{cases}$
Общим решением системы является $a \ge 1$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=1$, $a=5$, $a=26$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=0$, $a=-2$, $a=-10$.
Ответ: выражение имеет смысл при $a \ge 1$.

б) Выражение $\sqrt{3a+2} - \sqrt{1-2a}$ имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3a+2 \ge 0 \\ 1-2a \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3a \ge -2 \\ 1 \ge 2a \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge -2/3 \\ a \le 1/2 \end{cases}$
Следовательно, выражение имеет смысл при $-2/3 \le a \le 1/2$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=-2/3$, $a=0$, $a=1/2$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=1$, $a=-1$, $a=2$.
Ответ: выражение имеет смысл при $-2/3 \le a \le 1/2$.

в) Выражение $\sqrt{-3a} \cdot \sqrt{a+3}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим и решим систему:
$\begin{cases} -3a \ge 0 \\ a+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a \le 0 \\ a \ge -3 \end{cases}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $-3 \le a \le 0$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=-3$, $a=-1$, $a=0$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=1$, $a=-4$, $a=10$.
Ответ: выражение имеет смысл при $-3 \le a \le 0$.

г) Дробное выражение $\frac{\sqrt{2-\frac{a}{3}}}{\sqrt{1-\frac{a}{2}}}$ имеет смысл, если подкоренное выражение в числителе неотрицательно, а подкоренное выражение в знаменателе строго положительно (так как деление на ноль недопустимо). Это соответствует системе неравенств:
$\begin{cases} 2 - \frac{a}{3} \ge 0 \\ 1 - \frac{a}{2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 \ge \frac{a}{3} \\ 1 > \frac{a}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} 6 \ge a \\ 2 > a \end{cases}$
Общим решением системы является неравенство $a < 2$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=1$, $a=0$, $a=-10$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=2$ (знаменатель равен нулю), $a=3$ (подкоренное выражение в знаменателе отрицательно), $a=7$ (подкоренное выражение в числителе отрицательно).
Ответ: выражение имеет смысл при $a < 2$.