Страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

98 При каких значениях a корень уравнения является числом по-ложительным:

а) $3x = a + 12$;

б) $6(x + 1) = 2a + 5$;

в) $ax - 4 = x + 8$?

В каждом случае возьмите какое-нибудь значение a из найден-ного множества и решите уравнение.

а) $3x = a + 12$

Чтобы найти корень уравнения, выразим $x$ через $a$:
$x = \frac{a + 12}{3}$
Корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$. Составим и решим неравенство:
$\frac{a + 12}{3} > 0$
Так как знаменатель дроби (3) — положительное число, то дробь будет больше нуля, если ее числитель больше нуля:
$a + 12 > 0$
$a > -12$
Таким образом, корень уравнения является положительным числом при $a \in (-12; +\infty)$.

В качестве примера возьмем значение $a$ из найденного множества, например, $a = -3$. Подставим его в исходное уравнение и решим:
$3x = -3 + 12$
$3x = 9$
$x = 3$
Корень $x=3$ является положительным числом.

Ответ: при $a > -12$.

б) $6(x + 1) = 2a + 5$

Сначала раскроем скобки и выразим $x$ через $a$:
$6x + 6 = 2a + 5$
$6x = 2a + 5 - 6$
$6x = 2a - 1$
$x = \frac{2a - 1}{6}$
По условию корень должен быть положительным, $x > 0$:
$\frac{2a - 1}{6} > 0$
Знаменатель дроби (6) положителен, значит, для выполнения неравенства числитель должен быть больше нуля:
$2a - 1 > 0$
$2a > 1$
$a > \frac{1}{2}$
Следовательно, корень уравнения положителен при $a \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

В качестве примера возьмем значение $a$ из найденного множества, например, $a = 2$. Подставим его в исходное уравнение:
$6(x + 1) = 2(2) + 5$
$6(x + 1) = 4 + 5$
$6x + 6 = 9$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Корень $x = \frac{1}{2}$ является положительным числом.

Ответ: при $a > \frac{1}{2}$.

в) $ax - 4 = x + 8$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, и выразим $x$:
$ax - x = 8 + 4$
$x(a - 1) = 12$
Чтобы выразить $x$, нужно разделить обе части на $(a - 1)$. Это возможно только если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Если $a = 1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 12$, что неверно. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет корней.
При $a \neq 1$ корень уравнения равен: $x = \frac{12}{a - 1}$.
Найдем значения $a$, при которых $x > 0$:
$\frac{12}{a - 1} > 0$
Числитель дроби (12) — положительное число. Дробь будет положительной, если ее знаменатель также положителен:
$a - 1 > 0$
$a > 1$
Таким образом, корень уравнения является положительным числом при $a \in (1; +\infty)$.

Возьмем значение $a$ из найденного множества, например, $a = 5$. Подставим его в исходное уравнение:
$5x - 4 = x + 8$
$5x - x = 8 + 4$
$4x = 12$
$x = 3$
Корень $x=3$ является положительным числом.

Ответ: при $a > 1$.

99 При каких значениях c уравнение не имеет корней:

а) $2x^2 - 10x + c = 0;$

б) $-3x^2 + 2x + c = 0?$

В каждом случае ответьте, имеет ли уравнение корни при c, равном -0,5; -0,1; 0; 12,5; 15,7.

Общий принцип: квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$). Если $D \ge 0$, уравнение имеет корни.

а) $2x^2 - 10x + c = 0$

1. Найдем, при каких значениях $c$ уравнение не имеет корней.

В этом уравнении коэффициенты $a=2$, $b=-10$. Свободный член равен параметру $c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 100 - 8c$

Уравнение не имеет корней, когда $D < 0$:

$100 - 8c < 0$

$100 < 8c$

$c > \frac{100}{8}$

$c > 12.5$

2. Проверим, имеет ли уравнение корни при заданных значениях $c$. Уравнение будет иметь корни, если $D \ge 0$, то есть при $c \le 12.5$.

- при $c = -0.5$: условие $-0.5 \le 12.5$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = -0.1$: условие $-0.1 \le 12.5$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 0$: условие $0 \le 12.5$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 12.5$: условие $12.5 \le 12.5$ выполняется ($D=0$), значит, уравнение имеет один корень.
- при $c = 15.7$: условие $15.7 \le 12.5$ не выполняется, значит, уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней при $c > 12.5$. При значениях $c$ равных $-0.5, -0.1, 0, 12.5$ уравнение имеет корни; при $c = 15.7$ уравнение не имеет корней.

б) $-3x^2 + 2x + c = 0$

1. Найдем, при каких значениях $c$ уравнение не имеет корней.

В этом уравнении коэффициенты $a=-3$, $b=2$. Свободный член равен параметру $c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot c = 4 + 12c$

Уравнение не имеет корней, когда $D < 0$:

$4 + 12c < 0$

$12c < -4$

$c < -\frac{4}{12}$

$c < -\frac{1}{3}$

2. Проверим, имеет ли уравнение корни при заданных значениях $c$. Уравнение будет иметь корни, если $D \ge 0$, то есть при $c \ge -\frac{1}{3}$. ($-\frac{1}{3} \approx -0.333...$)

- при $c = -0.5$: условие $-0.5 \ge -\frac{1}{3}$ не выполняется (т.к. $-0.5 < -0.333...$), значит, уравнение не имеет корней.
- при $c = -0.1$: условие $-0.1 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется (т.к. $-0.1 > -0.333...$), значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 0$: условие $0 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 12.5$: условие $12.5 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 15.7$: условие $15.7 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение не имеет корней при $c < -\frac{1}{3}$. При $c = -0.5$ уравнение не имеет корней; при значениях $c$ равных $-0.1, 0, 12.5, 15.7$ уравнение имеет корни.

100 При каких значениях $a$ уравнение имеет два корня:

а) $ax^2 + 2x + 6 = 0$;

б) $ax^2 - 3x - 4 = 0?$

a) Рассмотрим уравнение $ax^2 + 2x + 6 = 0$.
Чтобы данное уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы оно было квадратным и его дискриминант был строго положительным.
1. Условие, что уравнение является квадратным: коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $2x + 6 = 0$, и имеет только один корень $x = -3$, что не удовлетворяет условию о двух корнях.
2. Условие положительности дискриминанта ($D > 0$). Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения коэффициенты $b=2$, $c=6$, а коэффициент при $x^2$ равен $a$.
$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 6 = 4 - 24a$.
Решим неравенство $D > 0$:
$4 - 24a > 0$
$4 > 24a$
$a < \frac{4}{24}$
$a < \frac{1}{6}$
Объединяем оба условия: $a \neq 0$ и $a < \frac{1}{6}$. Это означает, что $a$ может быть любым числом, меньшим $\frac{1}{6}$, кроме нуля. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty, 0)$ и $(0, \frac{1}{6})$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{6})$.

б) Рассмотрим уравнение $ax^2 - 3x - 4 = 0$.
Аналогично предыдущему пункту, для наличия двух различных корней необходимо выполнение двух условий.
1. Уравнение должно быть квадратным: $a \neq 0$. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $-3x - 4 = 0$, и имеет только один корень $x = -\frac{4}{3}$, что не удовлетворяет условию.
2. Дискриминант должен быть строго положительным ($D > 0$).
Для нашего уравнения коэффициенты $b=-3$, $c=-4$, а коэффициент при $x^2$ равен $a$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4) = 9 + 16a$.
Решим неравенство $D > 0$:
$9 + 16a > 0$
$16a > -9$
$a > -\frac{9}{16}$
Объединяем два условия: $a \neq 0$ и $a > -\frac{9}{16}$. Это означает, что $a$ может быть любым числом, большим $-\frac{9}{16}$, кроме нуля. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\frac{9}{16}, 0)$ и $(0, +\infty)$.
Ответ: $a \in (-\frac{9}{16}, 0) \cup (0, +\infty)$.

101Найдите все целые положительные значения $c$, при которых квадратный трёхчлен $2x^2 + 8x + c$ можно разложить на множители.

Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$). Это условие гарантирует, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни.

Для данного трёхчлена $2x^2 + 8x + c$ коэффициенты равны $a=2$ и $b=8$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 64 - 8c$

Применим условие $D \ge 0$:

$64 - 8c \ge 0$

Решим неравенство относительно $c$:

$64 \ge 8c$

$c \le 8$

В задаче требуется найти все целые положительные значения $c$. Это значит, что $c$ должно быть целым числом и $c > 0$.

Совмещая условия $c \le 8$ и $c > 0$ для целых чисел, получаем искомые значения:

$c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

Ответ: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

102 Найдите все целые отрицательные значения $c$, при которых квадратный трёхчлен $5x^2 - 10x - c$ можно разложить на множители.

Для того чтобы квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + d$ можно было разложить на линейные множители, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицательным. То есть, соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + d = 0$ должно иметь действительные корни.

В нашем случае дан трёхчлен $5x^2 - 10x - c$. Его коэффициенты равны $a = 5$, $b = -10$, а свободный член равен $(-c)$.

Найдём дискриминант $D$ этого трёхчлена:
$D = b^2 - 4a(-c) = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-c)$
$D = 100 + 20c$

Условие, при котором трёхчлен можно разложить на множители, имеет вид $D \ge 0$:
$100 + 20c \ge 0$

Решим полученное неравенство относительно $c$:
$20c \ge -100$
$c \ge \frac{-100}{20}$
$c \ge -5$

Согласно условию задачи, требуется найти все целые отрицательные значения $c$. Это значит, что $c$ должно быть целым числом ($c \in \mathbb{Z}$) и одновременно быть меньше нуля ($c < 0$).

Объединяя все условия, мы ищем целые числа $c$, удовлетворяющие двойному неравенству:
$-5 \le c < 0$

Перечислим все целые числа, которые попадают в этот промежуток: -5, -4, -3, -2, -1.

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1.