Номер 99, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 99, страница 34.

99 При каких значениях c уравнение не имеет корней:

а) $2x^2 - 10x + c = 0;$

б) $-3x^2 + 2x + c = 0?$

В каждом случае ответьте, имеет ли уравнение корни при c, равном -0,5; -0,1; 0; 12,5; 15,7.

Общий принцип: квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$). Если $D \ge 0$, уравнение имеет корни.

а) $2x^2 - 10x + c = 0$

1. Найдем, при каких значениях $c$ уравнение не имеет корней.

В этом уравнении коэффициенты $a=2$, $b=-10$. Свободный член равен параметру $c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 100 - 8c$

Уравнение не имеет корней, когда $D < 0$:

$100 - 8c < 0$

$100 < 8c$

$c > \frac{100}{8}$

$c > 12.5$

2. Проверим, имеет ли уравнение корни при заданных значениях $c$. Уравнение будет иметь корни, если $D \ge 0$, то есть при $c \le 12.5$.

- при $c = -0.5$: условие $-0.5 \le 12.5$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = -0.1$: условие $-0.1 \le 12.5$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 0$: условие $0 \le 12.5$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 12.5$: условие $12.5 \le 12.5$ выполняется ($D=0$), значит, уравнение имеет один корень.
- при $c = 15.7$: условие $15.7 \le 12.5$ не выполняется, значит, уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней при $c > 12.5$. При значениях $c$ равных $-0.5, -0.1, 0, 12.5$ уравнение имеет корни; при $c = 15.7$ уравнение не имеет корней.

б) $-3x^2 + 2x + c = 0$

1. Найдем, при каких значениях $c$ уравнение не имеет корней.

В этом уравнении коэффициенты $a=-3$, $b=2$. Свободный член равен параметру $c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot c = 4 + 12c$

Уравнение не имеет корней, когда $D < 0$:

$4 + 12c < 0$

$12c < -4$

$c < -\frac{4}{12}$

$c < -\frac{1}{3}$

2. Проверим, имеет ли уравнение корни при заданных значениях $c$. Уравнение будет иметь корни, если $D \ge 0$, то есть при $c \ge -\frac{1}{3}$. ($-\frac{1}{3} \approx -0.333...$)

- при $c = -0.5$: условие $-0.5 \ge -\frac{1}{3}$ не выполняется (т.к. $-0.5 < -0.333...$), значит, уравнение не имеет корней.
- при $c = -0.1$: условие $-0.1 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется (т.к. $-0.1 > -0.333...$), значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 0$: условие $0 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 12.5$: условие $12.5 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.
- при $c = 15.7$: условие $15.7 \ge -\frac{1}{3}$ выполняется, значит, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение не имеет корней при $c < -\frac{1}{3}$. При $c = -0.5$ уравнение не имеет корней; при значениях $c$ равных $-0.1, 0, 12.5, 15.7$ уравнение имеет корни.