Номер 98, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 98, страница 34.

98 При каких значениях a корень уравнения является числом по-ложительным:

а) $3x = a + 12$;

б) $6(x + 1) = 2a + 5$;

в) $ax - 4 = x + 8$?

В каждом случае возьмите какое-нибудь значение a из найден-ного множества и решите уравнение.

а) $3x = a + 12$

Чтобы найти корень уравнения, выразим $x$ через $a$:
$x = \frac{a + 12}{3}$
Корень уравнения должен быть положительным, то есть $x > 0$. Составим и решим неравенство:
$\frac{a + 12}{3} > 0$
Так как знаменатель дроби (3) — положительное число, то дробь будет больше нуля, если ее числитель больше нуля:
$a + 12 > 0$
$a > -12$
Таким образом, корень уравнения является положительным числом при $a \in (-12; +\infty)$.

В качестве примера возьмем значение $a$ из найденного множества, например, $a = -3$. Подставим его в исходное уравнение и решим:
$3x = -3 + 12$
$3x = 9$
$x = 3$
Корень $x=3$ является положительным числом.

Ответ: при $a > -12$.

б) $6(x + 1) = 2a + 5$

Сначала раскроем скобки и выразим $x$ через $a$:
$6x + 6 = 2a + 5$
$6x = 2a + 5 - 6$
$6x = 2a - 1$
$x = \frac{2a - 1}{6}$
По условию корень должен быть положительным, $x > 0$:
$\frac{2a - 1}{6} > 0$
Знаменатель дроби (6) положителен, значит, для выполнения неравенства числитель должен быть больше нуля:
$2a - 1 > 0$
$2a > 1$
$a > \frac{1}{2}$
Следовательно, корень уравнения положителен при $a \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

В качестве примера возьмем значение $a$ из найденного множества, например, $a = 2$. Подставим его в исходное уравнение:
$6(x + 1) = 2(2) + 5$
$6(x + 1) = 4 + 5$
$6x + 6 = 9$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Корень $x = \frac{1}{2}$ является положительным числом.

Ответ: при $a > \frac{1}{2}$.

в) $ax - 4 = x + 8$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, и выразим $x$:
$ax - x = 8 + 4$
$x(a - 1) = 12$
Чтобы выразить $x$, нужно разделить обе части на $(a - 1)$. Это возможно только если $a - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Если $a = 1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 12$, что неверно. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет корней.
При $a \neq 1$ корень уравнения равен: $x = \frac{12}{a - 1}$.
Найдем значения $a$, при которых $x > 0$:
$\frac{12}{a - 1} > 0$
Числитель дроби (12) — положительное число. Дробь будет положительной, если ее знаменатель также положителен:
$a - 1 > 0$
$a > 1$
Таким образом, корень уравнения является положительным числом при $a \in (1; +\infty)$.

Возьмем значение $a$ из найденного множества, например, $a = 5$. Подставим его в исходное уравнение:
$5x - 4 = x + 8$
$5x - x = 8 + 4$
$4x = 12$
$x = 3$
Корень $x=3$ является положительным числом.

Ответ: при $a > 1$.