Номер 94, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 94, страница 33.

94 а) Найдите наименьшее целое число, при котором разность многочленов $-x^2 + x - 7$ и $12 + 6x - x^2$ отрицательна.

б) Найдите наибольшее целое число, при котором разность квадратов выражений $2(x - 3)$ и $2x - 1$ положительна.

а)

Чтобы найти наименьшее целое число, при котором разность многочленов $-x^2 + x - 7$ и $12 + 6x - x^2$ отрицательна, необходимо составить и решить неравенство.

Запишем разность многочленов:

$(-x^2 + x - 7) - (12 + 6x - x^2)$

По условию задачи, эта разность должна быть отрицательной, то есть меньше нуля:

$(-x^2 + x - 7) - (12 + 6x - x^2) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + x - 7 - 12 - 6x + x^2 < 0$

$(-x^2 + x^2) + (x - 6x) + (-7 - 12) < 0$

$-5x - 19 < 0$

Теперь решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$-5x < 19$

Разделим обе части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{19}{-5}$

$x > -3.8$

Мы ищем наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству. Целые числа, которые больше -3.8, это -3, -2, -1, 0, 1 и так далее. Наименьшим из этих целых чисел является -3.

Ответ: -3

б)

Чтобы найти наибольшее целое число, при котором разность квадратов выражений $2(x-3)$ и $2x-1$ положительна, составим и решим соответствующее неравенство.

Первое выражение: $2(x-3) = 2x - 6$.
Второе выражение: $2x - 1$.

Запишем разность квадратов этих выражений. По условию, она должна быть положительной, то есть больше нуля:

$(2(x-3))^2 - (2x-1)^2 > 0$

$(2x - 6)^2 - (2x - 1)^2 > 0$

Для решения этого неравенства удобно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2x-6$ и $b = 2x-1$:

$((2x-6) - (2x-1)) \cdot ((2x-6) + (2x-1)) > 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(2x - 6 - 2x + 1) \cdot (2x - 6 + 2x - 1) > 0$

$(-5) \cdot (4x - 7) > 0$

Разделим обе части неравенства на -5, меняя знак неравенства на противоположный:

$4x - 7 < 0$

Теперь решим полученное простое линейное неравенство:

$4x < 7$

$x < \frac{7}{4}$

$x < 1.75$

Мы ищем наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству. Целые числа, которые меньше 1.75, это 1, 0, -1, -2 и так далее. Наибольшим из этих целых чисел является 1.

Ответ: 1