Номер 89, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 89, страница 32.

89 a) Дом Татьяны находится на расстоянии 800 м от школы и 500 м от дома Наташи. На каком расстоянии от школы может находиться дом Наташи?

b) Дорога от дома до стадиона занимает у Николая 20 мин, а от дома до школы — 12 мин. Сколько минут может занять у него дорога от школы до стадиона?

Указание. Изобразите на рисунке все дороги отрезками.

а) Обозначим расположение школы буквой Ш, дома Татьяны — буквой Т, а дома Наташи — буквой Н. По условию задачи, расстояние от школы до дома Татьяны составляет $ШТ = 800$ м, а расстояние от дома Татьяны до дома Наташи — $ТН = 500$ м. Нам нужно найти возможное расстояние от школы до дома Наташи, то есть $ШН$.

Эти три точки (Ш, Т, Н) можно рассматривать как вершины треугольника. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Для наших расстояний это правило выглядит так: $|ШТ - ТН| \le ШН \le ШТ + ТН$.

Рассмотрим два крайних случая, когда все три объекта расположены на одной прямой, как и предложено в указании ("Изобразите на рисунке все дороги отрезками").

Случай 1: Максимальное расстояние.
Это возможно, если дом Татьяны находится между школой и домом Наташи. В этом случае дорога представляет собой один отрезок Ш-Т-Н. Тогда расстояние от школы до дома Наташи будет равно сумме двух известных расстояний.
$ШН_{max} = ШТ + ТН = 800 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1300 \text{ м}$.

Случай 2: Минимальное расстояние.
Это возможно, если дом Наташи находится между школой и домом Татьяны. В этом случае дорога представляет собой отрезок Ш-Н-Т. Тогда расстояние от школы до дома Наташи будет равно разности двух известных расстояний.
$ШН_{min} = |ШТ - ТН| = |800 \text{ м} - 500 \text{ м}| = 300 \text{ м}$.

Если три точки не лежат на одной прямой, то они образуют треугольник, и расстояние $ШН$ будет принимать значение между 300 м и 1300 м.

Следовательно, расстояние от школы до дома Наташи может быть любым в промежутке от 300 м до 1300 м включительно.

Ответ: от 300 м до 1300 м.

б) Обозначим дом Николая буквой Д, стадион — Ст, а школу — Ш. По условию, время в пути от дома до стадиона составляет $t_{Д-Ст} = 20$ мин, а от дома до школы — $t_{Д-Ш} = 12$ мин. Нам нужно определить, сколько времени может занимать дорога от школы до стадиона, то есть $t_{Ш-Ст}$.

Предполагая, что скорость движения Николая постоянна, время в пути прямо пропорционально расстоянию. Следовательно, мы можем применить к отрезкам времени то же неравенство треугольника, что и к расстояниям в предыдущей задаче: $|t_{Д-Ст} - t_{Д-Ш}| \le t_{Ш-Ст} \le t_{Д-Ст} + t_{Д-Ш}$.

Рассмотрим два крайних случая, представляя дороги отрезками на одной прямой.

Случай 1: Максимальное время в пути.
Это произойдет, если дом Николая находится между школой и стадионом (путь Ш-Д-Ст). Тогда общее время от школы до стадиона будет суммой двух известных временных отрезков.
$t_{Ш-Ст, max} = t_{Д-Ш} + t_{Д-Ст} = 12 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 32 \text{ мин}$.

Случай 2: Минимальное время в пути.
Это произойдет, если школа находится между домом Николая и стадионом (путь Д-Ш-Ст). Тогда время от школы до стадиона будет равно разности двух известных временных отрезков.
$t_{Ш-Ст, min} = |t_{Д-Ст} - t_{Д-Ш}| = |20 \text{ мин} - 12 \text{ мин}| = 8 \text{ мин}$.

Если школа, дом и стадион не находятся на одной прямой, то время в пути от школы до стадиона будет находиться в пределах между 8 и 32 минутами.

Таким образом, дорога от школы до стадиона может занять у Николая от 8 до 32 минут включительно.

Ответ: от 8 мин до 32 мин.