Страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

88 Длины сторон треугольника обозначены буквами $x$, $y$, $z$. Определите, какую длину может иметь третья сторона треугольника, если известны длины двух других его сторон:

a) $x = 12 \text{ см}$, $y = 10 \text{ см}$;

б) $y = 21 \text{ см}$, $z = 16 \text{ см}$.

Для определения возможной длины третьей стороны треугольника используется правило, известное как неравенство треугольника. Это правило гласит, что длина любой стороны треугольника всегда строго меньше суммы длин двух других его сторон.

Если обозначить стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, то должны одновременно выполняться три неравенства:

• $a + b > c$
• $a + c > b$
• $b + c > a$

Эти три неравенства можно объединить в одно удобное двойное неравенство. Если нам известны длины двух сторон, например $a$ и $b$, то длина третьей стороны $c$ должна находиться в следующих границах:

$|a - b| < c < a + b$

Это означает, что третья сторона должна быть больше модуля разности длин двух известных сторон и меньше их суммы.

а)

В данном случае известны длины двух сторон: $x = 12$ см и $y = 10$ см. Нам нужно найти возможный диапазон длин для третьей стороны $z$.

Воспользуемся формулой неравенства треугольника:

$|x - y| < z < x + y$

Подставим известные значения в неравенство:

$|12 \text{ см} - 10 \text{ см}| < z < 12 \text{ см} + 10 \text{ см}$

Проведем вычисления:

$2 \text{ см} < z < 22 \text{ см}$

Таким образом, длина третьей стороны $z$ должна быть строго больше 2 см и строго меньше 22 см.

Ответ: $2 \text{ см} < z < 22 \text{ см}$.

б)

Здесь известны длины двух других сторон: $y = 21$ см и $z = 16$ см. Нам нужно определить возможную длину третьей стороны $x$.

Применим то же неравенство треугольника:

$|y - z| < x < y + z$

Подставим известные значения:

$|21 \text{ см} - 16 \text{ см}| < x < 21 \text{ см} + 16 \text{ см}$

Проведем вычисления:

$5 \text{ см} < x < 37 \text{ см}$

Следовательно, длина третьей стороны $x$ должна быть строго больше 5 см и строго меньше 37 см.

Ответ: $5 \text{ см} < x < 37 \text{ см}$.

89 a) Дом Татьяны находится на расстоянии 800 м от школы и 500 м от дома Наташи. На каком расстоянии от школы может находиться дом Наташи?

b) Дорога от дома до стадиона занимает у Николая 20 мин, а от дома до школы — 12 мин. Сколько минут может занять у него дорога от школы до стадиона?

Указание. Изобразите на рисунке все дороги отрезками.

а) Обозначим расположение школы буквой Ш, дома Татьяны — буквой Т, а дома Наташи — буквой Н. По условию задачи, расстояние от школы до дома Татьяны составляет $ШТ = 800$ м, а расстояние от дома Татьяны до дома Наташи — $ТН = 500$ м. Нам нужно найти возможное расстояние от школы до дома Наташи, то есть $ШН$.

Эти три точки (Ш, Т, Н) можно рассматривать как вершины треугольника. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может быть больше суммы длин двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Для наших расстояний это правило выглядит так: $|ШТ - ТН| \le ШН \le ШТ + ТН$.

Рассмотрим два крайних случая, когда все три объекта расположены на одной прямой, как и предложено в указании ("Изобразите на рисунке все дороги отрезками").

Случай 1: Максимальное расстояние.
Это возможно, если дом Татьяны находится между школой и домом Наташи. В этом случае дорога представляет собой один отрезок Ш-Т-Н. Тогда расстояние от школы до дома Наташи будет равно сумме двух известных расстояний.
$ШН_{max} = ШТ + ТН = 800 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1300 \text{ м}$.

Случай 2: Минимальное расстояние.
Это возможно, если дом Наташи находится между школой и домом Татьяны. В этом случае дорога представляет собой отрезок Ш-Н-Т. Тогда расстояние от школы до дома Наташи будет равно разности двух известных расстояний.
$ШН_{min} = |ШТ - ТН| = |800 \text{ м} - 500 \text{ м}| = 300 \text{ м}$.

Если три точки не лежат на одной прямой, то они образуют треугольник, и расстояние $ШН$ будет принимать значение между 300 м и 1300 м.

Следовательно, расстояние от школы до дома Наташи может быть любым в промежутке от 300 м до 1300 м включительно.

Ответ: от 300 м до 1300 м.

б) Обозначим дом Николая буквой Д, стадион — Ст, а школу — Ш. По условию, время в пути от дома до стадиона составляет $t_{Д-Ст} = 20$ мин, а от дома до школы — $t_{Д-Ш} = 12$ мин. Нам нужно определить, сколько времени может занимать дорога от школы до стадиона, то есть $t_{Ш-Ст}$.

Предполагая, что скорость движения Николая постоянна, время в пути прямо пропорционально расстоянию. Следовательно, мы можем применить к отрезкам времени то же неравенство треугольника, что и к расстояниям в предыдущей задаче: $|t_{Д-Ст} - t_{Д-Ш}| \le t_{Ш-Ст} \le t_{Д-Ст} + t_{Д-Ш}$.

Рассмотрим два крайних случая, представляя дороги отрезками на одной прямой.

Случай 1: Максимальное время в пути.
Это произойдет, если дом Николая находится между школой и стадионом (путь Ш-Д-Ст). Тогда общее время от школы до стадиона будет суммой двух известных временных отрезков.
$t_{Ш-Ст, max} = t_{Д-Ш} + t_{Д-Ст} = 12 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 32 \text{ мин}$.

Случай 2: Минимальное время в пути.
Это произойдет, если школа находится между домом Николая и стадионом (путь Д-Ш-Ст). Тогда время от школы до стадиона будет равно разности двух известных временных отрезков.
$t_{Ш-Ст, min} = |t_{Д-Ст} - t_{Д-Ш}| = |20 \text{ мин} - 12 \text{ мин}| = 8 \text{ мин}$.

Если школа, дом и стадион не находятся на одной прямой, то время в пути от школы до стадиона будет находиться в пределах между 8 и 32 минутами.

Таким образом, дорога от школы до стадиона может занять у Николая от 8 до 32 минут включительно.

Ответ: от 8 мин до 32 мин.

90 Объясните, почему неравенство не имеет решения или почему его решением является любое число:

a) $x < x + 5;$

б) $x > x - 1;$

в) $2x - 3 < 2x + 4;$

г) $x^2 < 0;$

д) $x^2 + 1 \ge 0;$

е) $|x + 10| < 0.$

а) В неравенстве $x < x + 5$ вычтем из обеих частей $x$. Получим $x - x < 5$, что равносильно $0 < 5$. Это верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.
Ответ: решением является любое число.

б) В неравенстве $x > x - 1$ вычтем из обеих частей $x$. Получим $x - x > -1$, что равносильно $0 > -1$. Это верное числовое неравенство, истинность которого не зависит от $x$. Таким образом, любое число является решением этого неравенства.
Ответ: решением является любое число.

в) В неравенстве $2x - 3 < 2x + 4$ перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. Получим $2x - 2x < 4 + 3$. После упрощения приходим к верному числовому неравенству $0 < 7$. Так как это неравенство верно и не содержит переменную $x$, то исходное неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: решением является любое число.

г) Рассмотрим неравенство $x^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа ($x^2$) по определению является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Неравенство требует, чтобы квадрат числа был строго меньше нуля, что невозможно ни для какого действительного числа. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

д) Рассмотрим неравенство $x^2 + 1 \ge 0$. Левая часть этого неравенства является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое, $x^2$, всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Второе слагаемое — это положительное число $1$. Сумма неотрицательного числа ($x^2$) и положительного числа ($1$) всегда будет положительным числом. Минимальное значение выражения $x^2 + 1$ достигается при $x=0$ и равно $0^2 + 1 = 1$. Так как $1 \ge 0$, то и $x^2 + 1 \ge 0$ будет верно при любом значении $x$.
Ответ: решением является любое число.

е) Рассмотрим неравенство $|x + 10| < 0$. Модуль (абсолютная величина) любого числа или выражения по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x + 10| \ge 0$ для любого значения $x$. Неравенство требует, чтобы значение модуля было строго меньше нуля, что противоречит определению модуля. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором это неравенство было бы верным.
Ответ: решений нет.

91 Решите неравенство:

a) $5(7 - 2x) + 15 \ge 6(x - 5);$

б) $9(z + 4) - 2(6z - 8) > 2z;$

в) $7(1 - z) + 15z \le -2(z - 5) - 1;$

г) $2(x - 4) - (x - 5) \le 1 - 7(2 - x).$

а) Решим неравенство $5(7 - 2x) + 15 \ge 6(x - 5)$.

1. Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$5 \cdot 7 - 5 \cdot 2x + 15 \ge 6 \cdot x - 6 \cdot 5$
$35 - 10x + 15 \ge 6x - 30$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(35 + 15) - 10x \ge 6x - 30$
$50 - 10x \ge 6x - 30$

3. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-10x$ вправо, а $-30$ влево, изменив их знаки:
$50 + 30 \ge 6x + 10x$
$80 \ge 16x$

4. Разделим обе части на 16. Так как 16 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{80}{16} \ge x$
$5 \ge x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде: $x \le 5$. Решением является числовой промежуток $(-\infty; 5]$.
Ответ: $x \le 5$.

б) Решим неравенство $9(z + 4) - 2(6z - 8) > 2z$.

1. Раскроем скобки:
$9z + 36 - 12z + 16 > 2z$

2. Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9z - 12z) + (36 + 16) > 2z$
$-3z + 52 > 2z$

3. Перенесем слагаемые с переменной $z$ в правую часть:
$52 > 2z + 3z$
$52 > 5z$

4. Разделим обе части на 5:
$\frac{52}{5} > z$
$10.4 > z$

Запишем в виде $z < 10.4$. Решением является числовой промежуток $(-\infty; 10.4)$.
Ответ: $z < 10.4$.

в) Решим неравенство $7(1 - z) + 15z \le -2(z - 5) - 1$.

1. Раскроем скобки в обеих частях:
$7 - 7z + 15z \le -2z + 10 - 1$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$7 + 8z \le -2z + 9$

3. Перенесем слагаемые с $z$ влево, а свободные члены вправо:
$8z + 2z \le 9 - 7$
$10z \le 2$

4. Разделим обе части на 10:
$z \le \frac{2}{10}$
$z \le 0.2$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 0.2]$.
Ответ: $z \le 0.2$.

г) Решим неравенство $2(x - 4) - (x - 5) \le 1 - 7(2 - x)$.

1. Раскроем все скобки:
$2x - 8 - x + 5 \le 1 - 14 + 7x$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$(2x - x) + (-8 + 5) \le (1 - 14) + 7x$
$x - 3 \le -13 + 7x$

3. Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а свободные члены влево:
$-3 + 13 \le 7x - x$
$10 \le 6x$

4. Разделим обе части на 6:
$\frac{10}{6} \le x$

Сократим дробь и запишем неравенство в стандартном виде:
$\frac{5}{3} \le x$
$x \ge \frac{5}{3}$

Решением является числовой промежуток $[\frac{5}{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \ge \frac{5}{3}$.

92 Приведите неравенство к виду $0x \le b$ и укажите множество его решений:

а) $3x - (x - 1) \le \frac{1}{3}(6x + 3);$

б) $7(x + \frac{3}{2}) - x \le 6x - 19;$

в) $2(3x + 1) + x - 2 \le 4x + 5 - 3(1 - x);$

г) $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \le 5(x + 1)(x - 1).$

а) $3x - (x - 1) \le \frac{1}{3}(6x + 3)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3x - x + 1 \le \frac{1}{3} \cdot 6x + \frac{1}{3} \cdot 3$

Теперь упростим полученные выражения:

$2x + 1 \le 2x + 1$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а постоянные члены — в правую часть:

$2x - 2x \le 1 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$0x \le 0$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = 0$. Полученное неравенство $0 \le 0$ является верным. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Множество решений — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

б) $7(x + \frac{3}{2}) - x \le 6x - 19$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$7x + 7 \cdot \frac{3}{2} - x \le 6x - 19$

Упростим левую часть:

$6x + \frac{21}{2} \le 6x - 19$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - 6x \le -19 - \frac{21}{2}$

Приведем подобные слагаемые и вычислим правую часть:

$0x \le -\frac{38}{2} - \frac{21}{2}$

$0x \le -\frac{59}{2}$

$0x \le -29.5$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = -29.5$. Полученное неравенство $0 \le -29.5$ является ложным, так как ноль больше любого отрицательного числа. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Множество решений — пустое множество.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений)

в) $2(3x + 1) + x - 2 \le 4x + 5 - 3(1 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6x + 2 + x - 2 \le 4x + 5 - 3 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$7x \le 7x + 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$7x - 7x \le 2$

Упростим левую часть:

$0x \le 2$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = 2$. Полученное неравенство $0 \le 2$ является верным. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.

Множество решений — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

г) $(2x + 1)^2 + (x - 2)^2 \le 5(x + 1)(x - 1)$

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и разность квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.

Раскроем скобки:

$( (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 ) + ( x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 ) \le 5(x^2 - 1^2)$

$(4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 4x + 4) \le 5(x^2 - 1)$

Приведем подобные слагаемые в левой части и раскроем скобки в правой:

$5x^2 + 5 \le 5x^2 - 5$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$5x^2 - 5x^2 \le -5 - 5$

$0x^2 \le -10$

Так как $0x^2 = 0$ для любого $x$, мы можем записать неравенство в требуемом виде:

$0x \le -10$

Мы привели неравенство к виду $0x \le b$, где $b = -10$. Полученное неравенство $0 \le -10$ является ложным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Множество решений — пустое множество.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений)