Страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

67 Положительным или отрицательным является число $a$, если:

а) $a - 2 < b - 2$ и $b < -1$;

б) $\frac{1}{5}a > \frac{1}{5}b$ и $b \ge 100$;

в) $-4a > -4b$ и $b \le 0$;

г) $1 - a < 1 - b$ и $b > 1$?

а) Даны неравенства $a - 2 < b - 2$ и $b < -1$.
Рассмотрим первое неравенство $a - 2 < b - 2$. Прибавим к обеим частям этого неравенства число 2. Знак неравенства при этом не изменится:
$a - 2 + 2 < b - 2 + 2$
$a < b$
Теперь используем второе условие: $b < -1$.
Так как $a < b$ и $b < -1$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить, что $a < -1$.
Поскольку число $a$ меньше -1, оно является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

б) Даны неравенства $\frac{1}{5}a > \frac{1}{5}b$ и $b \ge 100$.
Рассмотрим первое неравенство $\frac{1}{5}a > \frac{1}{5}b$. Умножим обе части этого неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$5 \cdot \frac{1}{5}a > 5 \cdot \frac{1}{5}b$
$a > b$
Теперь используем второе условие: $b \ge 100$.
Так как $a > b$ и $b \ge 100$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить, что $a > 100$.
Поскольку число $a$ больше 100, оно является положительным.
Ответ: положительное.

в) Даны неравенства $-4a > -4b$ и $b \le 0$.
Рассмотрим первое неравенство $-4a > -4b$. Разделим обе части этого неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$\frac{-4a}{-4} < \frac{-4b}{-4}$
$a < b$
Теперь используем второе условие: $b \le 0$.
Так как $a < b$ и $b \le 0$, мы можем заключить, что $a$ должно быть строго меньше нуля ($a < 0$). Если $b=0$, то $a < 0$. Если $b < 0$, то $a < b$ также означает, что $a < 0$.
Следовательно, число $a$ является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

г) Даны неравенства $1 - a < 1 - b$ и $b > 1$.
Рассмотрим первое неравенство $1 - a < 1 - b$. Вычтем из обеих частей этого неравенства число 1. Знак неравенства при этом не изменится:
$1 - a - 1 < 1 - b - 1$
$-a < -b$
Теперь умножим обе части неравенства на -1. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$(-1) \cdot (-a) > (-1) \cdot (-b)$
$a > b$
Теперь используем второе условие: $b > 1$.
Так как $a > b$ и $b > 1$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить, что $a > 1$.
Поскольку число $a$ больше 1, оно является положительным.
Ответ: положительное.

68 Известно, что $a \ge b$. Сравните, если возможно:

а) $a + 2$ и $b + 1$;

б) $a + 10$ и $b - 1$;

в) $3a - 1$ и $3b + 10$;

г) $1 - 2a$ и $3 - 2b$.

а)

Для сравнения выражений $a + 2$ и $b + 1$ воспользуемся основным свойством неравенства и известными фактами. По условию нам дано неравенство $a > b$. Также очевидно, что $2 > 1$. Сложив два верных неравенства одного знака, мы получим новое верное неравенство того же знака:

$a + 2 > b + 1$

Ответ: $a + 2 > b + 1$.

б)

Сравним выражения $a + 10$ и $b - 1$. Нам известно, что $a > b$. Также мы знаем, что $10 > -1$. Сложим почленно эти два неравенства:

$a + 10 > b + (-1)$

что эквивалентно:

$a + 10 > b - 1$

Ответ: $a + 10 > b - 1$.

в)

Для сравнения выражений $3a - 1$ и $3b + 10$ рассмотрим их разность:

$(3a - 1) - (3b + 10) = 3a - 1 - 3b - 10 = 3a - 3b - 11 = 3(a - b) - 11$

Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$. Однако знак выражения $3(a - b) - 11$ зависит от величины этой разности. Приведем примеры, показывающие, что знак может быть разным:

1. Пусть $a = 10$ и $b = 1$. Условие $a > b$ выполняется.
Тогда $3a - 1 = 3 \cdot 10 - 1 = 29$, а $3b + 10 = 3 \cdot 1 + 10 = 13$.
В этом случае $29 > 13$, то есть $3a - 1 > 3b + 10$.

2. Пусть $a = 2$ и $b = 1$. Условие $a > b$ также выполняется.
Тогда $3a - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$, а $3b + 10 = 3 \cdot 1 + 10 = 13$.
В этом случае $5 < 13$, то есть $3a - 1 < 3b + 10$.

Поскольку результат сравнения зависит от конкретных значений $a$ и $b$, однозначно сравнить выражения невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

г)

Сравним выражения $1 - 2a$ и $3 - 2b$. Начнем с данного неравенства $a > b$. Умножим обе части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-2a < -2b$

Нам также известно числовое неравенство $1 < 3$. Теперь сложим почленно два верных неравенства одного знака ($-2a < -2b$ и $1 < 3$):

$1 + (-2a) < 3 + (-2b)$

что равносильно:

$1 - 2a < 3 - 2b$

Ответ: $1 - 2a < 3 - 2b$.

69 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Определите, можно ли перевезти на автомобиле, грузоподъёмность которого 5 т, одновременно 2 м³ бука и 3 м³ ясеня, если известны границы плотности $ \rho $ (в г/см³) бука $(0,7 < \rho_1 < 0,9)$ и ясеня $(0,6 < \rho_2 < 0,8)$.

Чтобы определить, можно ли перевезти груз, необходимо рассчитать его максимальную возможную массу и убедиться, что она не превышает грузоподъемность автомобиля. Расчет по максимальным значениям плотности гарантирует, что при любых реальных значениях плотности из указанных диапазонов масса груза не превысит допустимую.

1. Исходные данные и перевод единиц

Сначала приведем все величины к единой системе измерений (килограммы и метры).

• Грузоподъемность автомобиля: $L = 5 \text{ т} = 5000 \text{ кг}$.
• Объем бука: $V_1 = 2 \text{ м}^3$.
• Объем ясеня: $V_2 = 3 \text{ м}^3$.

Плотность материалов дана в г/см³. Переведем ее в кг/м³, используя соотношение $1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$. Для расчета максимальной массы используем верхние границы диапазонов плотности:

• Максимальная плотность бука: $\rho_{1, \text{max}} = 0,9 \text{ г/см}^3 = 900 \text{ кг/м}^3$.
• Максимальная плотность ясеня: $\rho_{2, \text{max}} = 0,8 \text{ г/см}^3 = 800 \text{ кг/м}^3$.

2. Расчет максимальной массы груза

Масса вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$.

Рассчитаем максимальную массу для каждого вида древесины:
Максимальная масса бука: $m_{1, \text{max}} = \rho_{1, \text{max}} \cdot V_1 = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \text{ м}^3 = 1800 \text{ кг}$.
Максимальная масса ясеня: $m_{2, \text{max}} = \rho_{2, \text{max}} \cdot V_2 = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3 \text{ м}^3 = 2400 \text{ кг}$.

Теперь найдем общую максимальную массу груза ($M_{\text{max}}$) путем сложения масс бука и ясеня:
$M_{\text{max}} = m_{1, \text{max}} + m_{2, \text{max}} = 1800 \text{ кг} + 2400 \text{ кг} = 4200 \text{ кг}$.

3. Сравнение и вывод

Сравним максимальную возможную массу груза с грузоподъемностью автомобиля:
$M_{\text{max}} = 4200 \text{ кг}$
$L = 5000 \text{ кг}$

Поскольку $4200 \text{ кг} < 5000 \text{ кг}$, максимальная масса груза не превышает грузоподъемность автомобиля.

Ответ: Да, перевезти 2 м³ бука и 3 м³ ясеня одновременно на данном автомобиле можно.

70 Оцените площадь и периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равны $\sqrt{3}$ см и $\sqrt{2}$ см. (Границы в ответе запишите в виде десятичных дробей с одним знаком после запятой.)

Для решения задачи нам нужно оценить значения площади ($S$) и периметра ($P$) прямоугольного треугольника с катетами $a = \sqrt{3}$ см и $b = \sqrt{2}$ см.

Площадь
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.
Подставим значения катетов в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см².
Чтобы оценить площадь, нам нужно оценить значение $\sqrt{6}$. Мы знаем, что $2.4^2 = 5.76$ и $2.5^2 = 6.25$. Следовательно, мы можем записать неравенство:
$2.4 < \sqrt{6} < 2.5$
Теперь разделим все части неравенства на 2, чтобы получить оценку для площади $S$:
$\frac{2.4}{2} < \frac{\sqrt{6}}{2} < \frac{2.5}{2}$
$1.2 < S < 1.25$
Согласно условию, границы ответа должны быть представлены в виде десятичных дробей с одним знаком после запятой. Из полученного неравенства $1.2 < S < 1.25$ следует, что площадь больше, чем 1.2, но меньше, чем 1.3. Таким образом, искомая оценка для площади:
$1.2 \text{ см}^2 < S < 1.3 \text{ см}^2$
Ответ: $1.2 < S < 1.3$.

Периметр
Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$, где $c$ — это гипотенуза.
Сначала найдем длину гипотенузы, используя теорему Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$:
$c = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5}$ см.
Таким образом, периметр равен сумме: $P = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5}$ см.
Для оценки периметра оценим каждый из корней с точностью до одного знака после запятой:
- Для $\sqrt{3}$: так как $1.7^2 = 2.89$ и $1.8^2 = 3.24$, то $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$.
- Для $\sqrt{2}$: так как $1.4^2 = 1.96$ и $1.5^2 = 2.25$, то $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$.
- Для $\sqrt{5}$: так как $2.2^2 = 4.84$ и $2.3^2 = 5.29$, то $2.2 < \sqrt{5} < 2.3$.
Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств, чтобы получить оценку для периметра:
$1.7 + 1.4 + 2.2 < \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5} < 1.8 + 1.5 + 2.3$
$5.3 < P < 5.6$
Таким образом, искомая оценка для периметра:
$5.3 \text{ см} < P < 5.6 \text{ см}$
Ответ: $5.3 < P < 5.6$.

71 a) Докажите, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

б) Докажите, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

a)

Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Его стороны — это отрезки AB, BC, CD, DA. Его диагонали — это отрезки AC и BD. Периметр четырёхугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + CD + DA$. Сумма длин диагоналей $S_d = AC + BD$. Требуется доказать, что $P > S_d$.

Для доказательства воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Применив к ним неравенство треугольника, получим:

$AB + BC > AC$

$CD + DA > AC$

Сложим эти два неравенства: $(AB + BC) + (CD + DA) > AC + AC$, что равносильно $P > 2AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$:

$AB + DA > BD$

$BC + CD > BD$

Сложив эти два неравенства, получим: $(AB + DA) + (BC + CD) > BD + BD$, что равносильно $P > 2BD$.

Итак, мы получили два неравенства: $P > 2AC$ и $P > 2BD$. Сложим их:

$P + P > 2AC + 2BD$

$2P > 2(AC + BD)$

Разделив обе части на 2, получаем искомое неравенство:

$P > AC + BD$

Таким образом, доказано, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Пусть дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Его стороны — это AB, BC, CD, DE, EA. Его периметр $P = AB + BC + CD + DE + EA$. Пятиугольник имеет 5 диагоналей: AC, BD, CE, DA, EB. Сумма длин его диагоналей $S_d = AC + BD + CE + DA + EB$. Требуется доказать, что периметр больше полусуммы длин диагоналей, то есть $P > \frac{S_d}{2}$, что эквивалентно $2P > S_d$.

Для доказательства снова применим неравенство треугольника. Рассмотрим 5 треугольников, образованных двумя соседними сторонами и диагональю, соединяющей их не общие вершины:

В $\triangle ABC$: $AB + BC > AC$

В $\triangle BCD$: $BC + CD > BD$

В $\triangle CDE$: $CD + DE > CE$

В $\triangle DEA$: $DE + EA > DA$

В $\triangle EAB$: $EA + AB > EB$

Теперь сложим все пять неравенств:

$(AB + BC) + (BC + CD) + (CD + DE) + (DE + EA) + (EA + AB) > AC + BD + CE + DA + EB$

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$2AB + 2BC + 2CD + 2DE + 2EA > AC + BD + CE + DA + EB$

$2(AB + BC + CD + DE + EA) > S_d$

Поскольку выражение в скобках — это периметр пятиугольника $P$, получаем:

$2P > S_d$

Разделив обе части неравенства на 2, получим:

$P > \frac{S_d}{2}$

Таким образом, доказано, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

Ответ: Что и требовалось доказать.

72. Оцените разность $x - y$, если:

а) $3 < x < 4, 10 < y < 11$;

б) $20 < x < 21, 35 < y < 36$.

а)

Чтобы оценить разность $x - y$, мы можем представить её как сумму $x + (-y)$. Нам даны два неравенства: $3 < x < 4$ и $10 < y < 11$.
Сначала найдём оценку для $-y$. Для этого умножим все части неравенства $10 < y < 11$ на $-1$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 10 > -1 \cdot y > -1 \cdot 11$
$-10 > -y > -11$
Запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-11 < -y < -10$
Теперь мы можем почленно сложить два неравенства: $3 < x < 4$ и $-11 < -y < -10$.
$3 + (-11) < x + (-y) < 4 + (-10)$
$3 - 11 < x - y < 4 - 10$
$-8 < x - y < -6$
Таким образом, значение разности $x - y$ находится в интервале от $-8$ до $-6$.
Ответ: $-8 < x - y < -6$.

б)

Аналогично первому пункту, оценим разность $x - y$ для неравенств $20 < x < 21$ и $35 < y < 36$.
Сначала преобразуем неравенство для $y$, умножив его на $-1$ и поменяв знаки неравенства:
$-1 \cdot 35 > -1 \cdot y > -1 \cdot 36$
$-35 > -y > -36$
Запишем в стандартном виде:
$-36 < -y < -35$
Теперь сложим почленно неравенства для $x$ и $-y$:
$20 + (-36) < x + (-y) < 21 + (-35)$
$20 - 36 < x - y < 21 - 35$
$-16 < x - y < -14$
Следовательно, значение разности $x - y$ находится в интервале от $-16$ до $-14$.
Ответ: $-16 < x - y < -14$.

73 ИССЛЕДУЕМ

1) Дано: $m > n$. Поэкспериментируйте с числами и сделайте вывод о неравенствах, связывающих числа $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$. (Рассмотрите случаи: $m > 0$ и $n > 0$; $m < 0$ и $n < 0$; $m > 0$ и $n < 0$.)

2) Дано: $m > n, p > m, q < n$ и все эти числа положительные. Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{m}, \frac{1}{n}, \frac{1}{p}, \frac{1}{q}$.

3) Оцените $\frac{1}{y}$ и $\frac{x}{y}$, если $9 < x < 10, 2 < y < 3$.

1)

Дано неравенство $m > n$. Исследуем, как связано это неравенство с неравенством для обратных величин $\frac{1}{m}$ и $\frac{1}{n}$. Общее правило заключается в том, что при делении или умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении или умножении на отрицательное — меняется на противоположный.

Случай $m > 0$ и $n > 0$:
В этом случае оба числа положительны, значит, их произведение $mn$ также положительно. Мы можем разделить обе части неравенства $m > n$ на положительное число $mn$, не меняя знака неравенства.
$m > n$
$\frac{m}{mn} > \frac{n}{mn}$
Сократив дроби, получаем:
$\frac{1}{n} > \frac{1}{m}$ или, что то же самое, $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Пример: Возьмем $m = 4$ и $n = 2$. Очевидно, $4 > 2$. Их обратные величины: $\frac{1}{m} = \frac{1}{4} = 0.25$ и $\frac{1}{n} = \frac{1}{2} = 0.5$. Видим, что $0.25 < 0.5$, то есть $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Вывод: для положительных чисел, если одно число больше другого, то его обратная величина будет меньше.

Случай $m < 0$ и $n < 0$:
В этом случае дано $m > n$, и оба числа отрицательны. Например, $m=-2, n=-5$. Произведение $mn$ двух отрицательных чисел является положительным числом. Поэтому мы снова можем разделить неравенство $m > n$ на $mn$, сохранив знак.
$m > n$
$\frac{m}{mn} > \frac{n}{mn}$
$\frac{1}{n} > \frac{1}{m}$, то есть $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Пример: Возьмем $m = -2$ и $n = -5$. Условие $m > n$ выполняется, так как $-2 > -5$. Их обратные величины: $\frac{1}{m} = \frac{1}{-2} = -0.5$ и $\frac{1}{n} = \frac{1}{-5} = -0.2$. Сравнивая их, видим, что $-0.5 < -0.2$, то есть $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$.
Вывод: для отрицательных чисел, так же как и для положительных, если одно число больше другого, то его обратная величина будет меньше.

Случай $m > 0$ и $n < 0$:
Здесь $m$ — положительное число, а $n$ — отрицательное. Условие $m > n$ в этом случае выполняется всегда. Обратная величина для положительного числа $m$, то есть $\frac{1}{m}$, будет положительной. Обратная величина для отрицательного числа $n$, то есть $\frac{1}{n}$, будет отрицательной. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.
Следовательно, $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$.
Пример: Возьмем $m = 2$ и $n = -3$. Условие $m > n$ выполняется, так как $2 > -3$. Их обратные величины: $\frac{1}{m} = \frac{1}{2}$ (положительное) и $\frac{1}{n} = -\frac{1}{3}$ (отрицательное). Очевидно, что $\frac{1}{2} > -\frac{1}{3}$.
Вывод: если числа имеют разные знаки, знак неравенства для обратных величин совпадает со знаком исходного неравенства.

Ответ: Если $m$ и $n$ одного знака (оба положительны или оба отрицательны) и $m > n$, то $\frac{1}{m} < \frac{1}{n}$. Если $m$ и $n$ разных знаков, то из $m > n$ следует, что $m > 0$ и $n < 0$, и тогда $\frac{1}{m} > \frac{1}{n}$.

2)

Нам дано, что все числа $m, n, p, q$ положительные. Также даны следующие соотношения: $m > n$, $p > m$, $q < n$. Сначала упорядочим сами числа $m, n, p, q$. Из $p > m$ и $m > n$ следует, что $p > m > n$. Из $q < n$ следует, что $q$ меньше, чем $n$. Объединяя все неравенства, получаем единую цепочку: $p > m > n > q$. Поскольку все эти числа положительны, мы можем применить свойство, установленное в задаче 1: для положительных чисел большему значению соответствует меньшее обратное значение. Применяя это правило к цепочке $p > m > n > q > 0$, мы получим для обратных величин неравенство с противоположными знаками: $\frac{1}{p} < \frac{1}{m} < \frac{1}{n} < \frac{1}{q}$. Это и есть искомый порядок возрастания.

Ответ: $\frac{1}{p}, \frac{1}{m}, \frac{1}{n}, \frac{1}{q}$.

3)

Даны интервалы для $x$ и $y$: $9 < x < 10$ и $2 < y < 3$. Нам нужно оценить (найти границы) для выражений $\frac{1}{y}$ и $\frac{x}{y}$.

Оценка $\frac{1}{y}$:
Мы имеем неравенство $2 < y < 3$. Все части неравенства положительны. При взятии обратной величины от всех частей двойного неравенства знаки неравенства меняются на противоположные (как показано в задаче 1). Таким образом, из $2 < y < 3$ следует, что $\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$.

Оценка $\frac{x}{y}$:
Рассмотрим выражение $\frac{x}{y}$ как произведение $x \cdot \frac{1}{y}$. У нас есть оценки для обоих сомножителей: $9 < x < 10$
$\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$
Так как все значения в этих неравенствах положительны, мы можем их "почленно" перемножить. Чтобы найти нижнюю границу для $\frac{x}{y}$, нужно перемножить нижние границы для $x$ и $\frac{1}{y}$. Чтобы найти верхнюю границу, нужно перемножить их верхние границы.
Нижняя граница: $9 \cdot \frac{1}{3} = 3$.
Верхняя граница: $10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.
В результате получаем следующую оценку для дроби: $3 < \frac{x}{y} < 5$.

Ответ: $\frac{1}{3} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$; $3 < \frac{x}{y} < 5$.