Номер 67, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 67, страница 25.

67 Положительным или отрицательным является число $a$, если:

а) $a - 2 < b - 2$ и $b < -1$;

б) $\frac{1}{5}a > \frac{1}{5}b$ и $b \ge 100$;

в) $-4a > -4b$ и $b \le 0$;

г) $1 - a < 1 - b$ и $b > 1$?

а) Даны неравенства $a - 2 < b - 2$ и $b < -1$.
Рассмотрим первое неравенство $a - 2 < b - 2$. Прибавим к обеим частям этого неравенства число 2. Знак неравенства при этом не изменится:
$a - 2 + 2 < b - 2 + 2$
$a < b$
Теперь используем второе условие: $b < -1$.
Так как $a < b$ и $b < -1$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить, что $a < -1$.
Поскольку число $a$ меньше -1, оно является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

б) Даны неравенства $\frac{1}{5}a > \frac{1}{5}b$ и $b \ge 100$.
Рассмотрим первое неравенство $\frac{1}{5}a > \frac{1}{5}b$. Умножим обе части этого неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$5 \cdot \frac{1}{5}a > 5 \cdot \frac{1}{5}b$
$a > b$
Теперь используем второе условие: $b \ge 100$.
Так как $a > b$ и $b \ge 100$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить, что $a > 100$.
Поскольку число $a$ больше 100, оно является положительным.
Ответ: положительное.

в) Даны неравенства $-4a > -4b$ и $b \le 0$.
Рассмотрим первое неравенство $-4a > -4b$. Разделим обе части этого неравенства на -4. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$\frac{-4a}{-4} < \frac{-4b}{-4}$
$a < b$
Теперь используем второе условие: $b \le 0$.
Так как $a < b$ и $b \le 0$, мы можем заключить, что $a$ должно быть строго меньше нуля ($a < 0$). Если $b=0$, то $a < 0$. Если $b < 0$, то $a < b$ также означает, что $a < 0$.
Следовательно, число $a$ является отрицательным.
Ответ: отрицательное.

г) Даны неравенства $1 - a < 1 - b$ и $b > 1$.
Рассмотрим первое неравенство $1 - a < 1 - b$. Вычтем из обеих частей этого неравенства число 1. Знак неравенства при этом не изменится:
$1 - a - 1 < 1 - b - 1$
$-a < -b$
Теперь умножим обе части неравенства на -1. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$(-1) \cdot (-a) > (-1) \cdot (-b)$
$a > b$
Теперь используем второе условие: $b > 1$.
Так как $a > b$ и $b > 1$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить, что $a > 1$.
Поскольку число $a$ больше 1, оно является положительным.
Ответ: положительное.