Номер 66, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 66, страница 24.

66 a) $\frac{1}{\sqrt{2}}$; $2\sqrt{\frac{1}{20}}$; $\frac{1}{3}\sqrt{3}$; $\frac{1}{6}$;

б) $\frac{\sqrt{7}}{7}$; $\frac{7}{\sqrt{7}}$; $2\sqrt{2}$; $2\sqrt{0.1}$.

а)

Упростим каждое из представленных выражений. Цель упрощения — избавиться от иррациональности в знаменателе и упростить подкоренные выражения.

1. Для `$ \frac{1}{\sqrt{2}} $`, умножим числитель и знаменатель на `$ \sqrt{2} $`, чтобы рационализировать знаменатель:

`$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $`

2. Для `$ 2\sqrt{\frac{1}{20}} $`, сначала упростим выражение под корнем:

`$ 2\sqrt{\frac{1}{20}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} $`

Вынесем множитель из-под знака корня в знаменателе: `$ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $`.

`$ \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $`

Теперь рационализируем знаменатель:

`$ \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $`

3. Выражение `$ \frac{1}{3}\sqrt{3} $` можно записать как `$ \frac{\sqrt{3}}{3} $`. Оно уже упрощено, так как знаменатель рационален.

4. Дробь `$ \frac{1}{6} $` является рациональным числом и не требует упрощения.

Ответ: `$ \frac{\sqrt{2}}{2} $; `$ \frac{\sqrt{5}}{5} $; `$ \frac{\sqrt{3}}{3} $; `$ \frac{1}{6} $`.

б)

Упростим каждое из представленных выражений.

1. Выражение `$ \frac{\sqrt{7}}{7} $` уже находится в своей простейшей форме, так как знаменатель рационален и корень не упрощается.

2. Для `$ \frac{7}{\sqrt{7}} $`, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на него числитель и знаменатель:

`$ \frac{7}{\sqrt{7}} = \frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7} $`

3. Выражение `$ 2\sqrt{2} $` уже упрощено. Подкоренное выражение не содержит полных квадратов. Его можно записать как `$ \sqrt{8} $`.

4. Для `$ 2\sqrt{0.1} $`, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную `$ 0.1 = \frac{1}{10} $`:

`$ 2\sqrt{0.1} = 2\sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} $`

Рационализируем знаменатель:

`$ \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} $`

Ответ: `$ \frac{\sqrt{7}}{7} $; `$ \sqrt{7} $; `$ 2\sqrt{2} $; `$ \frac{\sqrt{10}}{5} $`.