Номер 64, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 64, страница 24.

64 Можно ли сравнить $a$ и $d$, если известно, что:

а) $a = b$, $b < c$, $c \le d$;

б) $a \ge c$, $b = c$, $d \le b$;

в) $a < b$, $c \ge b$, $c \ge d$;

г) $a \le b$, $c > b$, $c \le d$?

РАССУЖДАЕМ (65–66) Не пользуясь калькулятором, расположите в порядке возрастания данные числа.

а)

Даны соотношения: $a = b$, $b < c$, $c \le d$. Из первого равенства $a = b$ и второго неравенства $b < c$ следует, что $a < c$. Это свойство подстановки. Теперь у нас есть два неравенства: $a < c$ и $c \le d$. По свойству транзитивности неравенств, если одно число меньше второго, а второе меньше или равно третьему, то первое число строго меньше третьего. Таким образом, мы можем составить цепочку неравенств: $a < c \le d$. Из этой цепочки следует, что $a < d$. Следовательно, сравнить $a$ и $d$ можно.

Ответ: да, можно. $a < d$.

б)

Даны соотношения: $a \ge c$, $b = c$, $d \le b$. Используя равенство $b = c$, мы можем заменить $c$ на $b$ в первом неравенстве, получая $a \ge b$. Теперь у нас есть два неравенства, которые можно объединить: $a \ge b$ и $d \le b$. Это можно записать в виде единой цепочки неравенств: $d \le b \le a$. По свойству транзитивности, из этой цепочки следует, что $d \le a$, или, что эквивалентно, $a \ge d$. Следовательно, сравнить $a$ и $d$ можно.

Ответ: да, можно. $a \ge d$.

в)

Даны неравенства: $a < b$, $c \ge b$, $c \ge d$. Из первых двух неравенств ($a < b$ и $b \le c$) следует, что $a < c$. Также нам известно, что $d \le c$. В данном случае мы знаем, что и $a$, и $d$ меньше или равны $c$, но это не дает нам информации для их взаимного сравнения. Чтобы доказать это, приведем контрпримеры.

Пусть $b = 5$, $c = 10$. Тогда условия $a < b$ и $c \ge b$ выполнены (например, для $a=4$). Условие $c \ge d$ означает $10 \ge d$.

• Пример 1: Пусть $d = 3$. Тогда $a = 4$ и $d = 3$. В этом случае $a > d$. Все начальные условия ($4 < 5$, $10 \ge 5$, $10 \ge 3$) соблюдены.
• Пример 2: Пусть $d = 4$. Тогда $a = 4$ и $d = 4$. В этом случае $a = d$. Все начальные условия ($4 < 5$, $10 \ge 5$, $10 \ge 4$) соблюдены.
• Пример 3: Пусть $d = 9$. Тогда $a = 4$ и $d = 9$. В этом случае $a < d$. Все начальные условия ($4 < 5$, $10 \ge 5$, $10 \ge 9$) соблюдены.

Поскольку возможны все три варианта ($a > d$, $a = d$, $a < d$), однозначно сравнить $a$ и $d$ на основе данных условий нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

г)

Даны неравенства: $a \le b$, $c > b$, $c \le d$. Из $a \le b$ и $b < c$ (переписанное $c > b$) следует, что $a < c$. Неравенство становится строгим, потому что одно из исходных неравенств ($b < c$) строгое. Теперь у нас есть $a < c$ и $c \le d$. Объединяя их, получаем цепочку неравенств: $a \le b < c \le d$. По свойству транзитивности, из этой цепочки следует, что $a < d$. Следовательно, сравнить $a$ и $d$ можно.

Ответ: да, можно. $a < d$.