Номер 58, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 58, страница 23.

58 Известно, что $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ и $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$. Найдите границы значения выражения:

а) $\sqrt{6} + \sqrt{10}$;

б) $2\sqrt{15}$;

в) $2\sqrt{6} + 3\sqrt{10}$;

г) $-\sqrt{60}$.

а) $\sqrt{6} + \sqrt{10}$
Для нахождения границ суммы двух выражений, для которых известны границы, необходимо сложить соответствующие границы. У нас есть два неравенства:
$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$
$3,1 < \sqrt{10} < 3,2$
Складываем почленно левые и правые части неравенств:
$2,4 + 3,1 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 2,5 + 3,2$
$5,5 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 5,7$
Ответ: $5,5 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 5,7$.

б) $2\sqrt{15}$
Преобразуем выражение. Заметим, что $2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60}$. Также $\sqrt{60}$ можно представить как произведение $\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}$.
Теперь мы можем найти границы для произведения, используя данные неравенства $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ и $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$. Так как все части неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить:
$2,4 \cdot 3,1 < \sqrt{6} \cdot \sqrt{10} < 2,5 \cdot 3,2$
$7,44 < \sqrt{60} < 8$
Следовательно, $7,44 < 2\sqrt{15} < 8$.
Ответ: $7,44 < 2\sqrt{15} < 8$.

в) $2\sqrt{6} + 3\sqrt{10}$
Сначала найдем границы для каждого слагаемого.
1. Для $2\sqrt{6}$ умножим все части неравенства $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ на положительное число 2:
$2 \cdot 2,4 < 2\sqrt{6} < 2 \cdot 2,5$
$4,8 < 2\sqrt{6} < 5,0$
2. Для $3\sqrt{10}$ умножим все части неравенства $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$ на положительное число 3:
$3 \cdot 3,1 < 3\sqrt{10} < 3 \cdot 3,2$
$9,3 < 3\sqrt{10} < 9,6$
Теперь сложим полученные неравенства почленно:
$4,8 + 9,3 < 2\sqrt{6} + 3\sqrt{10} < 5,0 + 9,6$
$14,1 < 2\sqrt{6} + 3\sqrt{10} < 14,6$
Ответ: $14,1 < 2\sqrt{6} + 3\sqrt{10} < 14,6$.

г) $-\sqrt{60}$
В пункте б) мы уже нашли границы для $\sqrt{60}$:
$7,44 < \sqrt{60} < 8$
Чтобы найти границы для выражения $-\sqrt{60}$, необходимо умножить все части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 8 < -1 \cdot \sqrt{60} < -1 \cdot 7,44$
$-8 < -\sqrt{60} < -7,44$
Ответ: $-8 < -\sqrt{60} < -7,44$.