Номер 55, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 55, страница 23.

55 Сравните $ac$ и $bd$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, если:

а) $a < b, c = d$;

б) $a > b, c \ge d$;

в) $a \le b, c \le d$;

г) $a = b, c > d$.

а) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Дано неравенство $a < b$ и равенство $c = d$. Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число `c`. Так как $c > 0$, знак неравенства не изменится: $ac < bc$ Поскольку по условию $c = d$, мы можем заменить `c` на `d` в правой части полученного неравенства: $bc = bd$ Сопоставляя два выражения, $ac < bc$ и $bc = bd$, получаем: $ac < bd$
Ответ: $ac < bd$.

б) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Даны неравенства $a > b$ и $c \ge d$. Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число `c`. Знак неравенства не изменится: $ac > bc$ Теперь умножим обе части неравенства $c \ge d$ на положительное число `b`. Знак неравенства не изменится: $bc \ge bd$ Мы получили систему из двух неравенств: 1. $ac > bc$ 2. $bc \ge bd$ Из этих двух неравенств по свойству транзитивности следует, что $ac > bd$.
Ответ: $ac > bd$.

в) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Даны неравенства $a \le b$ и $c \le d$. Поскольку все части неравенств положительны, их можно перемножать почленно. Умножим неравенство $a \le b$ на положительное число `c`: $ac \le bc$ Умножим неравенство $c \le d$ на положительное число `b`: $bc \le bd$ Из полученных неравенств $ac \le bc$ и $bc \le bd$ следует, что: $ac \le bd$
Ответ: $ac \le bd$.

г) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Дано равенство $a = b$ и неравенство $c > d$. Умножим обе части неравенства $c > d$ на положительное число `a` (или `b`, так как они равны). Знак неравенства не изменится: $ac > ad$ Поскольку по условию $a = b$, мы можем заменить `a` на `b` в правой части неравенства: $ad = bd$ Таким образом, $ac > ad$ превращается в: $ac > bd$
Ответ: $ac > bd$.