Номер 48, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 48, страница 22.

48 Известно, что $a < b$. Запишите верное неравенство, которое получится, если обе части данного неравенства:

а) умножить на 25; на -1; на $-\frac{1}{2}$;

б) разделить на 2; на -3; на $\frac{1}{9}$.

Для решения этой задачи используются свойства числовых неравенств. Основное правило гласит: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если же обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Дано исходное неравенство: $a < b$.

а) Выполним умножение обеих частей неравенства.

• Умножение на 25.

  Так как число 25 положительное ($25 > 0$), знак неравенства $<$ сохраняется.

  $a \cdot 25 < b \cdot 25$

  Следовательно, $25a < 25b$.

• Умножение на -1.

  Так как число -1 отрицательное ($-1 < 0$), знак неравенства $<$ меняется на противоположный, то есть на $>$.

  $a \cdot (-1) > b \cdot (-1)$

  Следовательно, $-a > -b$.

• Умножение на $-\frac{1}{2}$.

  Так как число $-\frac{1}{2}$ отрицательное ($-\frac{1}{2} < 0$), знак неравенства $<$ меняется на противоположный, то есть на $>$.

  $a \cdot (-\frac{1}{2}) > b \cdot (-\frac{1}{2})$

  Следовательно, $-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$.

Ответ: $25a < 25b$; $-a > -b$; $-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$.

б) Выполним деление обеих частей неравенства.

• Деление на 2.

  Так как число 2 положительное ($2 > 0$), знак неравенства $<$ сохраняется.

  $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$

• Деление на -3.

  Так как число -3 отрицательное ($-3 < 0$), знак неравенства $<$ меняется на противоположный, то есть на $>$.

  $\frac{a}{-3} > \frac{b}{-3}$

  Следовательно, $-\frac{a}{3} > -\frac{b}{3}$.

• Деление на $\frac{1}{9}$.

  Так как число $\frac{1}{9}$ положительное ($\frac{1}{9} > 0$), знак неравенства $<$ сохраняется. Деление на дробь $\frac{1}{9}$ равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на 9.

  $a : \frac{1}{9} < b : \frac{1}{9}$

  $a \cdot 9 < b \cdot 9$

  Следовательно, $9a < 9b$.

Ответ: $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$; $-\frac{a}{3} > -\frac{b}{3}$; $9a < 9b$.