Номер 45, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 45, страница 22.

45 Известно, что $a + 8 \leq b + 8$. Объясните, почему верно неравенство:

а) $a \leq b$;

б) $a + 6 \leq b + 6$;

в) $a - 1 \leq b - 1$;

г) $a - b \leq 0$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать основное свойство числовых неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Исходное неравенство, данное в условии: $a + 8 \le b + 8$.

а) Чтобы доказать верность неравенства $a \le b$, необходимо из обеих частей исходного неравенства $a + 8 \le b + 8$ вычесть число 8. Согласно свойству неравенств, это преобразование является равносильным.

$a + 8 - 8 \le b + 8 - 8$

Выполнив вычитание, получаем:

$a \le b$

Таким образом, неравенство $a \le b$ является верным.

Ответ: Неравенство $a \le b$ верно, так как оно получено вычитанием одного и того же числа (8) из обеих частей исходного верного неравенства.

б) Чтобы доказать верность неравенства $a + 6 \le b + 6$, можно исходить из доказанного в пункте а) неравенства $a \le b$. Прибавим к обеим его частям число 6.

$a + 6 \le b + 6$

Так как мы прибавили одно и то же число к обеим частям верного неравенства, полученное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $a + 6 \le b + 6$ верно, так как оно получено прибавлением одного и того же числа (6) к обеим частям верного неравенства $a \le b$.

в) Для доказательства неравенства $a - 1 \le b - 1$ снова воспользуемся верным неравенством $a \le b$. Вычтем из обеих его частей число 1.

$a - 1 \le b - 1$

Поскольку из обеих частей верного неравенства было вычтено одно и то же число, полученное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство $a - 1 \le b - 1$ верно, так как оно получено вычитанием одного и того же числа (1) из обеих частей верного неравенства $a \le b$.

г) Чтобы доказать верность неравенства $a - b \le 0$, обратимся к доказанному неравенству $a \le b$. Вычтем из обеих частей этого неравенства переменную $b$. Эта операция равносильна переносу слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

$a - b \le b - b$

Упростив правую часть, получаем:

$a - b \le 0$

Следовательно, данное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $a - b \le 0$ верно, так как оно получено путем переноса слагаемого $b$ из правой части верного неравенства $a \le b$ в левую.