Номер 40, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 40, страница 21.

40 Что можно сказать о числах $a$ и $b$, если выполняются сразу два неравенства: $a \ge b$ и $a \le b$?

Рассмотрим два неравенства, которые должны выполняться одновременно: $a \ge b$ и $a \le b$.

Первое неравенство $a \ge b$ (читается как "$a$ больше или равно $b$") означает, что число $a$ либо строго больше числа $b$ ($a > b$), либо равно числу $b$ ($a = b$).

Второе неравенство $a \le b$ (читается как "$a$ меньше или равно $b$") означает, что число $a$ либо строго меньше числа $b$ ($a < b$), либо равно числу $b$ ($a = b$).

Поскольку оба условия должны быть истинными одновременно, мы должны найти такое соотношение между $a$ и $b$, которое удовлетворяет обоим неравенствам.

Представим это в виде системы неравенств: $$ \begin{cases} a \ge b \\ a \le b \end{cases} $$

Давайте проанализируем возможные варианты:

• Если предположить, что $a > b$, то это удовлетворяет первому неравенству, но противоречит второму ($a$ не может быть одновременно больше $b$ и меньше либо равно $b$).
• Если предположить, что $a < b$, то это удовлетворяет второму неравенству, но противоречит первому ($a$ не может быть одновременно меньше $b$ и больше либо равно $b$).
• Единственный случай, который не вызывает противоречий и удовлетворяет обоим условиям — это когда $a = b$. Если $a = b$, то неравенство $a \ge b$ выполняется (поскольку $a$ равно $b$), и неравенство $a \le b$ также выполняется (поскольку $a$ равно $b$).

Таким образом, единственным решением системы является равенство чисел $a$ и $b$.

Ответ: Числа $a$ и $b$ равны, то есть $a = b$.