Номер 43, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 43, страница 22.

43 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите с помощью букв следующие свойства неравенств для знаков $,>, \leqslant, \geqslant$:

a) о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа;

б) об умножении обеих частей неравенства на одно и то же не равное нулю число.

а) о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа;

Это свойство гласит, что если к обеим частям верного неравенства прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не меняется.

Пусть $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа. Сформулируем свойство для каждого знака:

• Для знака >: если $a > b$, то $a + c > b + c$.

• Для знака ≤: если $a \le b$, то $a + c \le b + c$.

• Для знака ≥: если $a \ge b$, то $a + c \ge b + c$.

Ответ: Если $a > b$, то $a + c > b + c$. Если $a \le b$, то $a + c \le b + c$. Если $a \ge b$, то $a + c \ge b + c$.

б) об умножении обеих частей неравенства на одно и то же не равное нулю число.

Это свойство зависит от знака числа, на которое умножаются обе части неравенства.

Пусть $a$, $b$ и $c$ — произвольные числа, причем $c \ne 0$.

Случай 1: Умножение на положительное число ($c > 0$)

Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

• Для знака >: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

• Для знака ≤: если $a \le b$ и $c > 0$, то $ac \le bc$.

• Для знака ≥: если $a \ge b$ и $c > 0$, то $ac \ge bc$.

Случай 2: Умножение на отрицательное число ($c < 0$)

Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный (> на <, < на >, ≥ на ≤, ≤ на ≥).

• Для знака >: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

• Для знака ≤: если $a \le b$ и $c < 0$, то $ac \ge bc$.

• Для знака ≥: если $a \ge b$ и $c < 0$, то $ac \le bc$.

Ответ: Если $c > 0$, то: $a > b \implies ac > bc$; $a \le b \implies ac \le bc$; $a \ge b \implies ac \ge bc$.
Если $c < 0$, то: $a > b \implies ac < bc$; $a \le b \implies ac \ge bc$; $a \ge b \implies ac \le bc$.