Номер 42, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 42, страница 21.

42 а) 7; $\sqrt{50}$; $4\sqrt{2}$;

б) $2\sqrt{5}$; $3\sqrt{3}$; 3,5; 3,555...;

В) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{\pi}$;

Г) 9; $4\sqrt{5}$; $3\pi$.

а)

Чтобы сравнить числа 7, $\sqrt{50}$ и $4\sqrt{2}$, возведем каждое из них в квадрат. Так как все числа положительные, то порядок их квадратов будет таким же, как и порядок самих чисел.

1. Возведем в квадрат число 7: $7^2 = 49$.

2. Возведем в квадрат число $\sqrt{50}$: $(\sqrt{50})^2 = 50$.

3. Возведем в квадрат число $4\sqrt{2}$: $(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Теперь сравним полученные квадраты: $32 < 49 < 50$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $4\sqrt{2} < 7 < \sqrt{50}$.

Ответ: $4\sqrt{2}; 7; \sqrt{50}$.

б)

Для сравнения чисел $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{3}$, 3,5 и $3,555...$ приведем их к одному виду, возведя в квадрат.

1. Число 3,5. Его квадрат равен $(3,5)^2 = 12,25$.

2. Число $3,555...$ — это периодическая дробь, которую можно представить в виде обыкновенной дроби: $3 + \frac{5}{9} = \frac{32}{9}$. Его квадрат равен $(\frac{32}{9})^2 = \frac{1024}{81} \approx 12,64$.

3. Возведем в квадрат число $2\sqrt{5}$: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.

4. Возведем в квадрат число $3\sqrt{3}$: $(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.

Сравним квадраты чисел: $12,25 < \frac{1024}{81} < 20 < 27$.

Это означает, что $(3,5)^2 < (3,555...)^2 < (2\sqrt{5})^2 < (3\sqrt{3})^2$.

Так как все исходные числа положительны, их порядок такой же: $3,5 < 3,555... < 2\sqrt{5} < 3\sqrt{3}$.

Ответ: $3,5; 3,555...; 2\sqrt{5}; 3\sqrt{3}$.

в)

Даны дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{\pi}$. У всех дробей одинаковый числитель (1). Для положительных дробей с одинаковым числителем та дробь меньше, у которой знаменатель больше.

Сравним знаменатели: 3, 4 и $\pi$.

Мы знаем, что число $\pi$ приблизительно равно 3,14159...

Расположим знаменатели в порядке возрастания: $3 < \pi < 4$.

Следовательно, обратные им величины (дроби) будут расположены в обратном порядке: $\frac{1}{4} < \frac{1}{\pi} < \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{4}; \frac{1}{\pi}; \frac{1}{3}$.

г)

Чтобы сравнить числа 9, $4\sqrt{5}$ и $3\pi$, возведем их в квадрат, так как все они положительны.

1. Возведем в квадрат число 9: $9^2 = 81$.

2. Возведем в квадрат число $4\sqrt{5}$: $(4\sqrt{5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.

3. Возведем в квадрат число $3\pi$: $(3\pi)^2 = 9\pi^2$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$. Тогда $\pi^2 \approx (3,1416)^2 \approx 9,8696$. Значит, $9\pi^2 \approx 9 \cdot 9,8696 \approx 88,8264$.

Сравним полученные квадраты: $80 < 81 < 9\pi^2$.

Таким образом, $(4\sqrt{5})^2 < 9^2 < (3\pi)^2$.

Поскольку все числа положительные, их порядок такой же: $4\sqrt{5} < 9 < 3\pi$.

Ответ: $4\sqrt{5}; 9; 3\pi$.