Страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

МОДЕЛИРУЕМ (35–37)

35. На координатной прямой отмечены числа $a, b, c, d$ (рис. 1.14). Сравните указанную пару чисел и ответ запишите с помощью разных знаков неравенства:

Рис. 1.14

а) $a$ и $c$;

б) $d$ и $b$;

в) $a$ и $d$.

Для сравнения чисел, отмеченных на координатной прямой, используется основное свойство: из двух чисел меньшим является то, которое на прямой расположено левее, а большим — то, которое расположено правее.

а) a и c

На координатной прямой точка $a$ расположена левее точки $c$. Это означает, что число $a$ меньше числа $c$. Данное соотношение можно записать с помощью двух разных знаков неравенства: как "$a$ меньше $c$" или как "$c$ больше $a$".

Ответ: $a < c$ и $c > a$.

б) d и b

На координатной прямой точка $d$ расположена правее точки $b$. Это означает, что число $d$ больше числа $b$. Это соотношение можно записать с помощью двух эквивалентных неравенств: как "$d$ больше $b$" или как "$b$ меньше $d$".

Ответ: $d > b$ и $b < d$.

в) a и d

На координатной прямой точка $a$ расположена левее точки $d$. Это означает, что число $a$ меньше числа $d$. Это соотношение можно записать двумя способами: как "$a$ меньше $d$" или как "$d$ больше $a$".

Ответ: $a < d$ и $d > a$.

36 Известно, что $a < c$, $b > c$, $d > b$. Сравните: $a$ и $b$, $a$ и $d$, $c$ и $d$.

Подсказка. Для наглядности воспользуйтесь координатной прямой.

Для решения задачи проанализируем данные неравенства: $a < c$, $b > c$ и $d > b$.

Чтобы было удобнее сравнивать, приведем все неравенства к одному знаку. Неравенство $b > c$ эквивалентно $c < b$. Неравенство $d > b$ эквивалентно $b < d$.

Теперь у нас есть система из трех неравенств:

$a < c$

$c < b$

$b < d$

Используя свойство транзитивности неравенств (если одно число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое число меньше третьего), мы можем объединить их в одну общую цепочку:

$a < c < b < d$

Эта цепочка показывает взаимное расположение чисел. Если представить их на координатной прямой, то число $a$ будет находиться левее всех, затем $c$, затем $b$ и правее всех — $d$. Основываясь на этой цепочке, сравним заданные пары чисел.

Из общей цепочки $a < c < b < d$ видно, что $a$ находится левее $b$. Таким образом, $a$ меньше $b$.
Ответ: $a < b$

В цепочке $a < c < b < d$ число $a$ является наименьшим, а $d$ — наибольшим. Следовательно, $a$ меньше $d$.
Ответ: $a < d$

Из общей цепочки $a < c < b < d$ видно, что $c$ находится левее $d$. Таким образом, $c$ меньше $d$.
Ответ: $c < d$

37 Известно, что $m > 0$, $k < 0$, $m < n$. Сравните: $m$ и $k$, $k$ и $n$, $n$ и $0$.

Проанализируем исходные данные. Нам даны три неравенства:

• $m > 0$: это означает, что число $m$ положительное.
• $k < 0$: это означает, что число $k$ отрицательное.
• $m < n$: это означает, что число $n$ больше числа $m$.

На основе этих условий проведем сравнение заданных пар чисел.

m и k
Из условий известно, что $m$ — положительное число ($m > 0$), а $k$ — отрицательное число ($k < 0$). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $m > k$.
Ответ: $m > k$.

k и n
Мы знаем, что $k$ — отрицательное число ($k < 0$). Чтобы сравнить $k$ и $n$, определим знак числа $n$. По условию $m < n$ и $m > 0$. Так как $n$ больше $m$, а $m$ больше нуля, то $n$ также больше нуля ($n > 0$). Таким образом, мы сравниваем отрицательное число $k$ и положительное число $n$. Отрицательное число всегда меньше положительного, поэтому $k < n$.
Ответ: $k < n$.

n и 0
Из двух условий, $m < n$ и $m > 0$, можно составить двойное неравенство: $0 < m < n$. По свойству транзитивности, если $0 < m$ и $m < n$, то из этого следует, что $0 < n$, или $n > 0$.
Ответ: $n > 0$.

Если расположить все числа на числовой прямой в порядке возрастания, то получится следующая последовательность: $k < 0 < m < n$.

38 Можно ли сделать вывод о соотношении между числами $a$ и $c$, если известно, что:

а) $a > b, b = c;$

б) $a > b, b \le c;$

в) $a < b, c \ge b;$

г) $a \le b, b < c;$

д) $a = b, c \le b;$

е) $a \le b, c \ge b?$

а) Даны условия $a > b$ и $b = c$. Так как $b$ и $c$ равны, можно подставить $c$ вместо $b$ в первое неравенство. В результате получим $a > c$. Таким образом, можно сделать однозначный вывод.
Ответ: можно сделать вывод, $a > c$.

б) Даны условия $a > b$ и $b \le c$. В этом случае однозначный вывод о соотношении между $a$ и $c$ сделать нельзя. Чтобы это показать, рассмотрим числовые примеры. Пусть $a=5$ и $b=3$. Условие $a > b$ выполняется. Условие $b \le c$ означает, что $c \ge 3$.
1. Если $c=4$, то $a > c$ (так как $5 > 4$).
2. Если $c=5$, то $a = c$.
3. Если $c=6$, то $a < c$ (так как $5 < 6$).
Поскольку возможны все три варианта соотношения ($a > c$, $a = c$, $a < c$), сделать определенный вывод невозможно.
Ответ: нельзя сделать вывод.

в) Даны условия $a < b$ и $c \ge b$. Второе неравенство можно записать в виде $b \le c$. Тогда мы имеем два неравенства: $a < b$ и $b \le c$. По свойству транзитивности числовых неравенств, из этих двух условий следует, что $a < c$.
Ответ: можно сделать вывод, $a < c$.

г) Даны условия $a \le b$ и $b < c$. По свойству транзитивности числовых неравенств, из $a \le b$ и $b < c$ напрямую следует, что $a < c$.
Ответ: можно сделать вывод, $a < c$.

д) Даны условия $a = b$ и $c \le b$. Так как $a$ и $b$ равны, мы можем заменить $b$ на $a$ во втором соотношении. Это даёт нам неравенство $c \le a$, которое равносильно записи $a \ge c$.
Ответ: можно сделать вывод, $a \ge c$.

е) Даны условия $a \le b$ и $c \ge b$. Второе неравенство можно переписать как $b \le c$. Таким образом, мы получаем цепочку неравенств: $a \le b \le c$. По свойству транзитивности, из $a \le b$ и $b \le c$ следует, что $a \le c$.
Ответ: можно сделать вывод, $a \le c$.

39 Известно, что $c \le a \le b$. Можно ли сравнить числа $a$ и $d$, если:

а) $b < d$;

б) $c < d < b$;

в) $d \le c \le a$;

г) $d \le b$?

Основное условие задачи: $c \le a \le b$. Нам нужно определить, можно ли сравнить $a$ и $d$ при дополнительных условиях.

а) $b < d$
Нам известно, что $a \le b$ (из основного условия) и $b < d$ (из дополнительного условия). Объединив эти два неравенства, мы получаем цепочку $a \le b < d$. По свойству транзитивности числовых неравенств, из $a \le b$ и $b < d$ следует, что $a < d$. Следовательно, сравнить числа можно.
Ответ: Да, можно, $a < d$.

б) $c < d < b$
Из основного условия мы знаем, что $a$ может быть любым числом из отрезка $[c, b]$. Дополнительное условие говорит, что $d$ — это число из интервала $(c, b)$. Так как отрезок $[c, b]$ включает в себя интервал $(c, b)$, а также точки $c$ и $b$, то взаимное расположение $a$ и $d$ не определено однозначно. Рассмотрим пример: пусть $c=2$, $b=8$. Тогда $2 \le a \le 8$ и $2 < d < 8$.

• Если выбрать $a=7$ и $d=4$, то $a > d$.
• Если выбрать $a=3$ и $d=5$, то $a < d$.
• Если выбрать $a=6$ и $d=6$, то $a = d$.

Поскольку возможны все три варианта ($a > d$, $a < d$, $a = d$), однозначно сравнить числа $a$ и $d$ нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

в) $d \le c \le a$
В данном случае нам дано условие $d \le c$. Из основного условия мы знаем, что $c \le a$. Объединив эти два неравенства, получаем $d \le c \le a$. По свойству транзитивности, отсюда следует, что $d \le a$. Таким образом, сравнение возможно.
Ответ: Да, можно, $a \ge d$.

г) $d \le b$
Нам известно, что $a \le b$ и $d \le b$. Это означает, что оба числа, $a$ и $d$, не превышают $b$. Однако это условие не позволяет определить, какое из чисел больше. Рассмотрим пример: пусть $c=1$, $b=10$. Тогда $1 \le a \le 10$ и $d \le 10$.

• Если выбрать $a=7$ и $d=5$, то $a > d$.
• Если выбрать $a=4$ и $d=8$, то $a < d$.
• Если выбрать $a=6$ и $d=6$, то $a = d$.

Поскольку возможны все три варианта, однозначно сравнить числа $a$ и $d$ нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

40 Что можно сказать о числах $a$ и $b$, если выполняются сразу два неравенства: $a \ge b$ и $a \le b$?

Рассмотрим два неравенства, которые должны выполняться одновременно: $a \ge b$ и $a \le b$.

Первое неравенство $a \ge b$ (читается как "$a$ больше или равно $b$") означает, что число $a$ либо строго больше числа $b$ ($a > b$), либо равно числу $b$ ($a = b$).

Второе неравенство $a \le b$ (читается как "$a$ меньше или равно $b$") означает, что число $a$ либо строго меньше числа $b$ ($a < b$), либо равно числу $b$ ($a = b$).

Поскольку оба условия должны быть истинными одновременно, мы должны найти такое соотношение между $a$ и $b$, которое удовлетворяет обоим неравенствам.

Представим это в виде системы неравенств: $$ \begin{cases} a \ge b \\ a \le b \end{cases} $$

Давайте проанализируем возможные варианты:

• Если предположить, что $a > b$, то это удовлетворяет первому неравенству, но противоречит второму ($a$ не может быть одновременно больше $b$ и меньше либо равно $b$).
• Если предположить, что $a < b$, то это удовлетворяет второму неравенству, но противоречит первому ($a$ не может быть одновременно меньше $b$ и больше либо равно $b$).
• Единственный случай, который не вызывает противоречий и удовлетворяет обоим условиям — это когда $a = b$. Если $a = b$, то неравенство $a \ge b$ выполняется (поскольку $a$ равно $b$), и неравенство $a \le b$ также выполняется (поскольку $a$ равно $b$).

Таким образом, единственным решением системы является равенство чисел $a$ и $b$.

Ответ: Числа $a$ и $b$ равны, то есть $a = b$.

два неравенства: $a > b$ и $a < c$.

РАССУЖДАЕМ (41–42) Расположите в порядке возрастания числа.

41 a) 2,353; 0,353; -3,353; 2,3503; -0,3533; -0,353;

б) 0,2; 0,3; 0,4; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$;

в) 0,41238...; 0,41; 0,041; 0,41222...;

г) -0,3; -0,33; -0,34; -0,333... .

а) Чтобы расположить числа 2,353; 0,353; -3,353; 2,3503; -0,3533; -0,353 в порядке возрастания, необходимо их сравнить. В первую очередь разделим числа на отрицательные и положительные, так как любое отрицательное число меньше любого положительного.

Отрицательные числа: -3,353; -0,3533; -0,353.При сравнении отрицательных чисел меньшим является то, чей модуль (абсолютная величина) больше. Сравним их модули:$|-3,353| = 3,353$$|-0,3533| = 0,3533$$|-0,353| = 0,353$Расположим модули в порядке возрастания: $0,353 < 0,3533 < 3,353$.Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-3,353 < -0,3533 < -0,353$.

Положительные числа: 2,353; 0,353; 2,3503.Сравнивая их, видим, что $0,353$ — наименьшее, так как его целая часть равна 0.Далее сравним $2,353$ и $2,3503$. Уравняем число знаков после запятой, добавив ноль: $2,353 = 2,3530$.Так как $2,3503 < 2,3530$, то $2,3503 < 2,353$.Порядок для положительных чисел: $0,353 < 2,3503 < 2,353$.

Объединяя оба упорядоченных списка, получаем итоговый ряд:$-3,353 < -0,3533 < -0,353 < 0,353 < 2,3503 < 2,353$.

Ответ: -3,353; -0,3533; -0,353; 0,353; 2,3503; 2,353.

б) Для того чтобы расположить числа 0,2; 0,3; 0,4; $1/2$; $1/3$; $1/4$ в порядке возрастания, удобно перевести обыкновенные дроби в десятичные.

$1/2 = 0,5$

$1/3 = 0,333... = 0,(3)$

$1/4 = 0,25$

Теперь мы имеем следующий набор десятичных дробей: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,333...; 0,25.Все числа положительные. Сравнивая их поразрядно, располагаем в порядке возрастания:$0,2 < 0,25 < 0,3 < 0,333... < 0,4 < 0,5$.

Заменяем десятичные дроби обратно на их исходные представления:$0,2 < 1/4 < 0,3 < 1/3 < 0,4 < 1/2$.

Ответ: 0,2; $1/4$; 0,3; $1/3$; 0,4; $1/2$.

в) Чтобы расположить числа 0,41238...; 0,41; 0,041; 0,41222... в порядке возрастания, выполним поразрядное сравнение.

Исходные числа:$A = 0,41238...$$B = 0,41$$C = 0,041$$D = 0,41222...$

1. Сравним десятые доли: у числа C (0,041) в разряде десятых стоит 0, а у остальных — 4. Значит, 0,041 — наименьшее число.2. Сравним оставшиеся числа. Для удобства запишем $B$ как $0,41000...$. Сравним тысячные доли: у $A$ — 2, у $B$ — 0, у $D$ — 2. Значит, $B$ (0,41) — следующее по величине.3. Сравним $A$ и $D$. Первые три знака после запятой у них одинаковы (0,412). Сравним четвертый знак (десятитысячные): у $A$ — 3, у $D$ — 2. Так как $2 < 3$, то $D < A$.Таким образом, $0,41222... < 0,41238...$.

Собираем все вместе и получаем итоговый порядок: $0,041 < 0,41 < 0,41222... < 0,41238...$

Ответ: 0,041; 0,41; 0,41222...; 0,41238...

г) Чтобы расположить числа -0,3; -0,33; -0,34; -0,333... в порядке возрастания, необходимо их сравнить.Все числа являются отрицательными. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Сравним модули данных чисел:$|-0,3| = 0,3$$|-0,33| = 0,33$$|-0,34| = 0,34$$|-0,333...| = 0,333...$

Расположим модули в порядке возрастания:$0,3 < 0,33 < 0,333... < 0,34$.

Для отрицательных чисел порядок будет обратным:$-0,34 < -0,333... < -0,33 < -0,3$.

Ответ: -0,34; -0,333...; -0,33; -0,3.

42 а) 7; $\sqrt{50}$; $4\sqrt{2}$;

б) $2\sqrt{5}$; $3\sqrt{3}$; 3,5; 3,555...;

В) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{\pi}$;

Г) 9; $4\sqrt{5}$; $3\pi$.

а)

Чтобы сравнить числа 7, $\sqrt{50}$ и $4\sqrt{2}$, возведем каждое из них в квадрат. Так как все числа положительные, то порядок их квадратов будет таким же, как и порядок самих чисел.

1. Возведем в квадрат число 7: $7^2 = 49$.

2. Возведем в квадрат число $\sqrt{50}$: $(\sqrt{50})^2 = 50$.

3. Возведем в квадрат число $4\sqrt{2}$: $(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.

Теперь сравним полученные квадраты: $32 < 49 < 50$.

Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так: $4\sqrt{2} < 7 < \sqrt{50}$.

Ответ: $4\sqrt{2}; 7; \sqrt{50}$.

б)

Для сравнения чисел $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{3}$, 3,5 и $3,555...$ приведем их к одному виду, возведя в квадрат.

1. Число 3,5. Его квадрат равен $(3,5)^2 = 12,25$.

2. Число $3,555...$ — это периодическая дробь, которую можно представить в виде обыкновенной дроби: $3 + \frac{5}{9} = \frac{32}{9}$. Его квадрат равен $(\frac{32}{9})^2 = \frac{1024}{81} \approx 12,64$.

3. Возведем в квадрат число $2\sqrt{5}$: $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.

4. Возведем в квадрат число $3\sqrt{3}$: $(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.

Сравним квадраты чисел: $12,25 < \frac{1024}{81} < 20 < 27$.

Это означает, что $(3,5)^2 < (3,555...)^2 < (2\sqrt{5})^2 < (3\sqrt{3})^2$.

Так как все исходные числа положительны, их порядок такой же: $3,5 < 3,555... < 2\sqrt{5} < 3\sqrt{3}$.

Ответ: $3,5; 3,555...; 2\sqrt{5}; 3\sqrt{3}$.

в)

Даны дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{\pi}$. У всех дробей одинаковый числитель (1). Для положительных дробей с одинаковым числителем та дробь меньше, у которой знаменатель больше.

Сравним знаменатели: 3, 4 и $\pi$.

Мы знаем, что число $\pi$ приблизительно равно 3,14159...

Расположим знаменатели в порядке возрастания: $3 < \pi < 4$.

Следовательно, обратные им величины (дроби) будут расположены в обратном порядке: $\frac{1}{4} < \frac{1}{\pi} < \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{4}; \frac{1}{\pi}; \frac{1}{3}$.

г)

Чтобы сравнить числа 9, $4\sqrt{5}$ и $3\pi$, возведем их в квадрат, так как все они положительны.

1. Возведем в квадрат число 9: $9^2 = 81$.

2. Возведем в квадрат число $4\sqrt{5}$: $(4\sqrt{5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.

3. Возведем в квадрат число $3\pi$: $(3\pi)^2 = 9\pi^2$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$. Тогда $\pi^2 \approx (3,1416)^2 \approx 9,8696$. Значит, $9\pi^2 \approx 9 \cdot 9,8696 \approx 88,8264$.

Сравним полученные квадраты: $80 < 81 < 9\pi^2$.

Таким образом, $(4\sqrt{5})^2 < 9^2 < (3\pi)^2$.

Поскольку все числа положительные, их порядок такой же: $4\sqrt{5} < 9 < 3\pi$.

Ответ: $4\sqrt{5}; 9; 3\pi$.