Страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

52 Не вычисляя значения суммы, сравните:

а) $0,7541 + 0,521$ и $1$;

б) $298 + 275 + 361$ и $1000$;

в) $0,204 + 0,205 + 0,215 + 0,218 + 0,209$ и $1$.

Образец. Сравним $2,48 + 2,37 + 2,45 + 2,5$ и $10$:

$2,48 + 2,37 + 2,45 + 2,5 < 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 10$.

Значит, данная сумма меньше $10$.

а) Чтобы сравнить сумму $0,7541 + 0,521$ с $1$, оценим каждое слагаемое. Первое слагаемое $0,7541$ больше, чем $0,5$. Второе слагаемое $0,521$ также больше, чем $0,5$. Сумма двух чисел, каждое из которых больше $0,5$, будет больше, чем их сумма, то есть $0,5 + 0,5 = 1$. Следовательно, $0,7541 + 0,521 > 0,5 + 0,5 = 1$. Значит, данная сумма больше 1.
Ответ: $0,7541 + 0,521 > 1$.

б) Чтобы сравнить сумму $298 + 275 + 361$ с $1000$, заменим каждое слагаемое большим "круглым" числом. Очевидно, что $298 < 300$, $275 < 300$ и $361 < 400$. Сложим эти большие числа: $300 + 300 + 400 = 1000$. Поскольку каждое из исходных слагаемых строго меньше числа, на которое мы его заменили, то и их сумма будет строго меньше $1000$. Таким образом, $298 + 275 + 361 < 300 + 300 + 400 = 1000$. Значит, данная сумма меньше 1000.
Ответ: $298 + 275 + 361 < 1000$.

в) Чтобы сравнить сумму $0,204 + 0,205 + 0,215 + 0,218 + 0,209$ с $1$, заметим, что в сумме 5 слагаемых. Если бы каждое слагаемое было равно $0,2$, то их сумма равнялась бы $5 \times 0,2 = 1$. Теперь сравним каждое слагаемое в выражении с числом $0,2$:

• $0,204 > 0,2$
• $0,205 > 0,2$
• $0,215 > 0,2$
• $0,218 > 0,2$
• $0,209 > 0,2$

Поскольку каждое слагаемое в исходной сумме больше $0,2$, то и вся сумма будет больше, чем $5 \times 0,2 = 1$. Значит, данная сумма больше 1.
Ответ: $0,204 + 0,205 + 0,215 + 0,218 + 0,209 > 1$.

53 Сравните $a + b + c$ и $p + q + r$, если:

а) $a < p, b < q, c = r;$

б) $a \ge p, b \ge q, c > r;$

в) $a = p, b = q, c \le r.$

Для сравнения сумм $a + b + c$ и $p + q + r$ воспользуемся свойствами числовых неравенств.

По условию даны соотношения: $a < p$, $b < q$ и $c = r$.

Сложим почленно два строгих неравенства одинакового знака $a < p$ и $b < q$:

$a + b < p + q$

Теперь к обеим частям полученного неравенства можно прибавить одно и то же число. Прибавим $c$:

$a + b + c < p + q + c$

Поскольку по условию $c = r$, мы можем заменить $c$ на $r$ в правой части неравенства:

$a + b + c < p + q + r$

Ответ: $a + b + c < p + q + r$.

По условию даны соотношения: $a \ge p$, $b \ge q$ и $c > r$.

Сложим почленно два нестрогих неравенства одинакового знака $a \ge p$ и $b \ge q$:

$a + b \ge p + q$

Теперь сложим полученное нестрогое неравенство со строгим неравенством $c > r$. При сложении нестрогого и строгого неравенств одного знака итоговое неравенство будет строгим.

$(a + b) + c > (p + q) + r$

$a + b + c > p + q + r$

Ответ: $a + b + c > p + q + r$.

По условию даны соотношения: $a = p$, $b = q$ и $c \le r$.

Из равенств $a = p$ и $b = q$ следует, что их суммы также равны:

$a + b = p + q$

Возьмем неравенство $c \le r$. Прибавим к левой части этого неравенства сумму $a + b$, а к правой части — равную ей сумму $p + q$. Знак неравенства при этом не изменится:

$c + (a + b) \le r + (p + q)$

После перестановки слагаемых получаем:

$a + b + c \le p + q + r$

Ответ: $a + b + c \le p + q + r$.

54 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Верно ли, что:

a) если $x > 10$ и $y > 20$, то $xy > 200$; $xy > 100$; $xy > 300$;

б) если $0 < x < 2$ и $0 < y < 5$, то $xy < 10$; $xy < 12$; $xy < 9$?

а) Даны условия $x > 10$ и $y > 20$. Поскольку обе части неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить, сохраняя знак неравенства: $x \cdot y > 10 \cdot 20$, что дает $xy > 200$.
Проверим каждое утверждение:

• $xy > 200$: Это утверждение следует непосредственно из умножения исходных неравенств. Следовательно, оно верно.
• $xy > 100$: Поскольку мы установили, что $xy > 200$, а $200 > 100$, то по свойству транзитивности неравенство $xy > 100$ также является верным.
• $xy > 300$: Это утверждение не всегда является верным. Чтобы это показать, достаточно привести контрпример. Пусть $x = 11$ (что больше 10) и $y = 21$ (что больше 20). Тогда их произведение $xy = 11 \cdot 21 = 231$. Неравенство $231 > 300$ ложно. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: $xy > 200$ - верно; $xy > 100$ - верно; $xy > 300$ - неверно.

б) Даны условия $0 < x < 2$ и $0 < y < 5$. Поскольку все переменные положительны, мы можем почленно перемножить эти двойные неравенства: $0 \cdot 0 < x \cdot y < 2 \cdot 5$, что дает $0 < xy < 10$.
Проверим каждое утверждение:

• $xy < 10$: Это утверждение следует непосредственно из умножения исходных неравенств ($0 < xy < 10$ означает, что $xy < 10$). Следовательно, оно верно.
• $xy < 12$: Мы установили, что $xy < 10$. Так как $10 < 12$, то по свойству транзитивности неравенство $xy < 12$ также является верным.
• $xy < 9$: Это утверждение не всегда верно. Можно найти значения $x$ и $y$, удовлетворяющие условиям, для которых произведение будет больше или равно 9. Например, пусть $x = 1,9$ (удовлетворяет $0 < x < 2$) и $y = 4,9$ (удовлетворяет $0 < y < 5$). Тогда их произведение $xy = 1,9 \cdot 4,9 = 9,31$. Неравенство $9,31 < 9$ ложно. Следовательно, данное утверждение неверно.

Ответ: $xy < 10$ - верно; $xy < 12$ - верно; $xy < 9$ - неверно.

55 Сравните $ac$ и $bd$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, если:

а) $a < b, c = d$;

б) $a > b, c \ge d$;

в) $a \le b, c \le d$;

г) $a = b, c > d$.

а) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Дано неравенство $a < b$ и равенство $c = d$. Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число `c`. Так как $c > 0$, знак неравенства не изменится: $ac < bc$ Поскольку по условию $c = d$, мы можем заменить `c` на `d` в правой части полученного неравенства: $bc = bd$ Сопоставляя два выражения, $ac < bc$ и $bc = bd$, получаем: $ac < bd$
Ответ: $ac < bd$.

б) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Даны неравенства $a > b$ и $c \ge d$. Умножим обе части неравенства $a > b$ на положительное число `c`. Знак неравенства не изменится: $ac > bc$ Теперь умножим обе части неравенства $c \ge d$ на положительное число `b`. Знак неравенства не изменится: $bc \ge bd$ Мы получили систему из двух неравенств: 1. $ac > bc$ 2. $bc \ge bd$ Из этих двух неравенств по свойству транзитивности следует, что $ac > bd$.
Ответ: $ac > bd$.

в) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Даны неравенства $a \le b$ и $c \le d$. Поскольку все части неравенств положительны, их можно перемножать почленно. Умножим неравенство $a \le b$ на положительное число `c`: $ac \le bc$ Умножим неравенство $c \le d$ на положительное число `b`: $bc \le bd$ Из полученных неравенств $ac \le bc$ и $bc \le bd$ следует, что: $ac \le bd$
Ответ: $ac \le bd$.

г) По условию `a`, `b`, `c`, `d` — положительные числа. Дано равенство $a = b$ и неравенство $c > d$. Умножим обе части неравенства $c > d$ на положительное число `a` (или `b`, так как они равны). Знак неравенства не изменится: $ac > ad$ Поскольку по условию $a = b$, мы можем заменить `a` на `b` в правой части неравенства: $ad = bd$ Таким образом, $ac > ad$ превращается в: $ac > bd$
Ответ: $ac > bd$.

56 Известно, что $2,1 < a < 2,2$ и $3,4 < b < 3,5$. Оцените:

а) $3a$;

б) $-2a$;

В) $5 + a$;

Г) $1 - b$;

Д) $a + b$;

е) $ab$;

Ж) $2(a + b)$;

З) $3ab$.

а) 3a;
По условию дано двойное неравенство $2,1 < a < 2,2$. Чтобы оценить выражение $3a$, необходимо умножить все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.
$3 \cdot 2,1 < 3 \cdot a < 3 \cdot 2,2$
$6,3 < 3a < 6,6$
Ответ: $6,3 < 3a < 6,6$.

б) -2a;
По условию $2,1 < a < 2,2$. Чтобы оценить выражение $-2a$, умножим все части неравенства на -2. Так как -2 — отрицательное число, знаки неравенства необходимо изменить на противоположные.
$-2 \cdot 2,1 > -2 \cdot a > -2 \cdot 2,2$
$-4,2 > -2a > -4,4$
Для удобства восприятия запишем неравенство в порядке возрастания:
$-4,4 < -2a < -4,2$
Ответ: $-4,4 < -2a < -4,2$.

в) 5 + a;
По условию $2,1 < a < 2,2$. Чтобы оценить сумму $5 + a$, прибавим число 5 ко всем частям неравенства.
$5 + 2,1 < 5 + a < 5 + 2,2$
$7,1 < 5 + a < 7,2$
Ответ: $7,1 < 5 + a < 7,2$.

г) 1 - b;
По условию $3,4 < b < 3,5$. Чтобы оценить разность $1 - b$, сначала оценим выражение $-b$. Для этого умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные.
$-1 \cdot 3,4 > -1 \cdot b > -1 \cdot 3,5$
$-3,4 > -b > -3,5$, или $-3,5 < -b < -3,4$
Теперь прибавим 1 ко всем частям полученного неравенства:
$1 - 3,5 < 1 - b < 1 - 3,4$
$-2,5 < 1 - b < -2,4$
Ответ: $-2,5 < 1 - b < -2,4$.

д) a + b;
Нам даны два неравенства: $2,1 < a < 2,2$ и $3,4 < b < 3,5$. Чтобы оценить сумму $a+b$, мы можем сложить эти неравенства почленно, так как они имеют одинаковые знаки.
$2,1 + 3,4 < a + b < 2,2 + 3,5$
$5,5 < a + b < 5,7$
Ответ: $5,5 < a + b < 5,7$.

е) ab;
Используем неравенства $2,1 < a < 2,2$ и $3,4 < b < 3,5$. Так как все части этих неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить, сохранив знак неравенства.
$2,1 \cdot 3,4 < a \cdot b < 2,2 \cdot 3,5$
$7,14 < ab < 7,7$
Ответ: $7,14 < ab < 7,7$.

ж) 2(a + b);
В пункте д) мы уже нашли оценку для суммы $a+b$: $5,5 < a + b < 5,7$. Чтобы оценить выражение $2(a+b)$, умножим все части этого неравенства на 2.
$2 \cdot 5,5 < 2(a + b) < 2 \cdot 5,7$
$11 < 2(a + b) < 11,4$
Ответ: $11 < 2(a + b) < 11,4$.

з) 3ab.
В пункте е) мы нашли оценку для произведения $ab$: $7,14 < ab < 7,7$. Чтобы оценить выражение $3ab$, умножим все части этого неравенства на 3.
$3 \cdot 7,14 < 3ab < 3 \cdot 7,7$
$21,42 < 3ab < 23,1$
Ответ: $21,42 < 3ab < 23,1$.

57 Зная, что $3,14 < \pi < 3,15$, оцените:

а) $2\pi$;
б) $\frac{\pi}{2}$;
в) $-10\pi$;
г) $\frac{\pi}{3}$.

Исходное неравенство: $3,14 < \pi < 3,15$.

а)

Чтобы оценить $2\pi$, умножим все части двойного неравенства на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства сохраняется:

$3,14 \cdot 2 < \pi \cdot 2 < 3,15 \cdot 2$

$6,28 < 2\pi < 6,30$

Ответ: $6,28 < 2\pi < 6,30$

б)

Чтобы оценить $\frac{\pi}{2}$, разделим все части двойного неравенства на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3,14}{2} < \frac{\pi}{2} < \frac{3,15}{2}$

$1,57 < \frac{\pi}{2} < 1,575$

Ответ: $1,57 < \frac{\pi}{2} < 1,575$

в)

Чтобы оценить $-10\pi$, умножим все части двойного неравенства на -10. Так как -10 < 0, знаки неравенства меняются на противоположные:

$3,14 \cdot (-10) > \pi \cdot (-10) > 3,15 \cdot (-10)$

$-31,4 > -10\pi > -31,5$

Для удобства записи расположим числа в порядке возрастания:

$-31,5 < -10\pi < -31,4$

Ответ: $-31,5 < -10\pi < -31,4$

г)

Чтобы оценить $\frac{\pi}{3}$, разделим все части двойного неравенства на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства сохраняется:

$\frac{3,14}{3} < \frac{\pi}{3} < \frac{3,15}{3}$

Вычислим правую часть неравенства: $3,15 : 3 = 1,05$. Левую часть оставим в виде дроби для большей точности.

$\frac{3,14}{3} < \frac{\pi}{3} < 1,05$

Ответ: $\frac{3,14}{3} < \frac{\pi}{3} < 1,05$

58 Известно, что $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ и $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$. Найдите границы значения выражения:

а) $\sqrt{6} + \sqrt{10}$;

б) $2\sqrt{15}$;

в) $2\sqrt{6} + 3\sqrt{10}$;

г) $-\sqrt{60}$.

а) $\sqrt{6} + \sqrt{10}$
Для нахождения границ суммы двух выражений, для которых известны границы, необходимо сложить соответствующие границы. У нас есть два неравенства:
$2,4 < \sqrt{6} < 2,5$
$3,1 < \sqrt{10} < 3,2$
Складываем почленно левые и правые части неравенств:
$2,4 + 3,1 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 2,5 + 3,2$
$5,5 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 5,7$
Ответ: $5,5 < \sqrt{6} + \sqrt{10} < 5,7$.

б) $2\sqrt{15}$
Преобразуем выражение. Заметим, что $2\sqrt{15} = \sqrt{4 \cdot 15} = \sqrt{60}$. Также $\sqrt{60}$ можно представить как произведение $\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}$.
Теперь мы можем найти границы для произведения, используя данные неравенства $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ и $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$. Так как все части неравенств являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить:
$2,4 \cdot 3,1 < \sqrt{6} \cdot \sqrt{10} < 2,5 \cdot 3,2$
$7,44 < \sqrt{60} < 8$
Следовательно, $7,44 < 2\sqrt{15} < 8$.
Ответ: $7,44 < 2\sqrt{15} < 8$.

в) $2\sqrt{6} + 3\sqrt{10}$
Сначала найдем границы для каждого слагаемого.
1. Для $2\sqrt{6}$ умножим все части неравенства $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ на положительное число 2:
$2 \cdot 2,4 < 2\sqrt{6} < 2 \cdot 2,5$
$4,8 < 2\sqrt{6} < 5,0$
2. Для $3\sqrt{10}$ умножим все части неравенства $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$ на положительное число 3:
$3 \cdot 3,1 < 3\sqrt{10} < 3 \cdot 3,2$
$9,3 < 3\sqrt{10} < 9,6$
Теперь сложим полученные неравенства почленно:
$4,8 + 9,3 < 2\sqrt{6} + 3\sqrt{10} < 5,0 + 9,6$
$14,1 < 2\sqrt{6} + 3\sqrt{10} < 14,6$
Ответ: $14,1 < 2\sqrt{6} + 3\sqrt{10} < 14,6$.

г) $-\sqrt{60}$
В пункте б) мы уже нашли границы для $\sqrt{60}$:
$7,44 < \sqrt{60} < 8$
Чтобы найти границы для выражения $-\sqrt{60}$, необходимо умножить все части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 8 < -1 \cdot \sqrt{60} < -1 \cdot 7,44$
$-8 < -\sqrt{60} < -7,44$
Ответ: $-8 < -\sqrt{60} < -7,44$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (59–61)

59 Оцените площадь и периметр треугольника, изображённого на рисунке 1.15, если известны границы длин его сторон и одной из высот, выраженные в сантиметрах:

$4 < a < 5,$

$3 < b < 4,$

$4 < c < 5,$

$2 < h < 3.$

Рис. 1.15

Для решения задачи необходимо оценить периметр и площадь треугольника, используя свойства числовых неравенств.

Оценка периметра

Периметр треугольника P — это сумма длин его сторон: $P = a + b + c$. Согласно условию задачи, даны следующие границы для длин сторон:

$4 < a < 5$

$3 < b < 4$

$4 < c < 5$

Чтобы найти границы периметра, сложим почленно данные неравенства, так как они одного знака. Складываем левые части и правые части отдельно:

$4 + 3 + 4 < a + b + c < 5 + 4 + 5$

Выполнив сложение, получаем итоговое неравенство для периметра:

$11 < P < 14$

Ответ: $11 \text{ см} < P < 14 \text{ см}$.

Оценка площади

Площадь треугольника S вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ch$, где c — это основание, а h — высота, опущенная на это основание. Из условия известны следующие границы для этих величин:

$4 < c < 5$

$2 < h < 3$

Чтобы найти границы площади, сначала оценим произведение $ch$. Так как все значения в неравенствах положительные, мы можем их почленно перемножить:

$4 \times 2 < c \times h < 5 \times 3$

$8 < ch < 15$

Теперь, чтобы найти площадь $S = \frac{1}{2}ch$, умножим все части полученного неравенства на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \times 8 < \frac{1}{2}ch < \frac{1}{2} \times 15$

Выполнив вычисления, получаем оценку для площади:

$4 < S < 7.5$

Ответ: $4 \text{ см}^2 < S < 7.5 \text{ см}^2$.