Страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

74 Какие из чисел -3; -1; 0; 1; 2; 3 являются решениями данного неравенства, а какие не являются:

a) $2x + 8 < 12$;

б) $y < 3y + 1$;

в) $z^2 \le z$;

г) $\frac{4}{a - 2} > 0$?

Чтобы определить, какие из чисел -3; -1; 0; 1; 2; 3 являются решениями неравенств, а какие нет, нужно подставить каждое число в соответствующее неравенство и проверить, выполняется ли оно.

а) Для неравенства $2x + 8 < 12$ проверим каждое из чисел:

• Если $x = -3$, то $2 \cdot (-3) + 8 = -6 + 8 = 2$. Неравенство $2 < 12$ верно.
• Если $x = -1$, то $2 \cdot (-1) + 8 = -2 + 8 = 6$. Неравенство $6 < 12$ верно.
• Если $x = 0$, то $2 \cdot 0 + 8 = 0 + 8 = 8$. Неравенство $8 < 12$ верно.
• Если $x = 1$, то $2 \cdot 1 + 8 = 2 + 8 = 10$. Неравенство $10 < 12$ верно.
• Если $x = 2$, то $2 \cdot 2 + 8 = 4 + 8 = 12$. Неравенство $12 < 12$ неверно.
• Если $x = 3$, то $2 \cdot 3 + 8 = 6 + 8 = 14$. Неравенство $14 < 12$ неверно.

Ответ: являются решениями: -3; -1; 0; 1; не являются решениями: 2; 3.

б) Для неравенства $y < 3y + 1$ проверим каждое из чисел:

• Если $y = -3$, то $-3 < 3 \cdot (-3) + 1 \Rightarrow -3 < -8$. Неверно.
• Если $y = -1$, то $-1 < 3 \cdot (-1) + 1 \Rightarrow -1 < -2$. Неверно.
• Если $y = 0$, то $0 < 3 \cdot 0 + 1 \Rightarrow 0 < 1$. Верно.
• Если $y = 1$, то $1 < 3 \cdot 1 + 1 \Rightarrow 1 < 4$. Верно.
• Если $y = 2$, то $2 < 3 \cdot 2 + 1 \Rightarrow 2 < 7$. Верно.
• Если $y = 3$, то $3 < 3 \cdot 3 + 1 \Rightarrow 3 < 10$. Верно.

Ответ: являются решениями: 0; 1; 2; 3; не являются решениями: -3; -1.

в) Для неравенства $z^2 \le z$ проверим каждое из чисел:

• Если $z = -3$, то $(-3)^2 \le -3 \Rightarrow 9 \le -3$. Неверно.
• Если $z = -1$, то $(-1)^2 \le -1 \Rightarrow 1 \le -1$. Неверно.
• Если $z = 0$, то $0^2 \le 0 \Rightarrow 0 \le 0$. Верно.
• Если $z = 1$, то $1^2 \le 1 \Rightarrow 1 \le 1$. Верно.
• Если $z = 2$, то $2^2 \le 2 \Rightarrow 4 \le 2$. Неверно.
• Если $z = 3$, то $3^2 \le 3 \Rightarrow 9 \le 3$. Неверно.

Ответ: являются решениями: 0; 1; не являются решениями: -3; -1; 2; 3.

г) Для неравенства $\frac{4}{a - 2} > 0$ проверим каждое из чисел:

• Если $a = -3$, то $\frac{4}{-3 - 2} = -\frac{4}{5}$. Неравенство $-\frac{4}{5} > 0$ неверно.
• Если $a = -1$, то $\frac{4}{-1 - 2} = -\frac{4}{3}$. Неравенство $-\frac{4}{3} > 0$ неверно.
• Если $a = 0$, то $\frac{4}{0 - 2} = -2$. Неравенство $-2 > 0$ неверно.
• Если $a = 1$, то $\frac{4}{1 - 2} = -4$. Неравенство $-4 > 0$ неверно.
• Если $a = 2$, то знаменатель $a-2$ равен 0. Деление на ноль невозможно, поэтому число 2 не является решением.
• Если $a = 3$, то $\frac{4}{3 - 2} = 4$. Неравенство $4 > 0$ верно.

Ответ: является решением: 3; не являются решениями: -3; -1; 0; 1; 2.

75 Подберите какие-нибудь два числа, являющиеся решениями данного неравенства, и два числа, не являющиеся его решениями:

а) $x < 5x;$

б) $\frac{1}{y} > y;$

в) $a > -a^2.$

а) $x < 5x$

Чтобы найти подходящие числа, сначала решим это неравенство. Для этого перенесем все члены с переменной в одну часть:
$5x - x > 0$
$4x > 0$
Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x > 0$
Таким образом, решением неравенства является любое положительное число.

Подберем два числа, являющиеся решениями (любые числа больше 0):
- Пусть $x = 1$. Проверяем: $1 < 5 \cdot 1 \implies 1 < 5$. Неравенство верно.
- Пусть $x = 10$. Проверяем: $10 < 5 \cdot 10 \implies 10 < 50$. Неравенство верно.

Подберем два числа, не являющиеся решениями (любые числа, которые меньше или равны 0):
- Пусть $x = 0$. Проверяем: $0 < 5 \cdot 0 \implies 0 < 0$. Неравенство неверно.
- Пусть $x = -1$. Проверяем: $-1 < 5 \cdot (-1) \implies -1 < -5$. Неравенство неверно.

Ответ: числа, являющиеся решениями: 1 и 10; числа, не являющиеся решениями: 0 и -1.

б) $\frac{1}{y} > y$

Решим данное неравенство. Область допустимых значений: $y \neq 0$. Нельзя просто умножить обе части на $y$, так как знак $y$ неизвестен. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $y > 0$
Умножаем обе части на $y$, знак неравенства сохраняется:
$1 > y^2$
$y^2 < 1$
Решением этого неравенства является интервал $-1 < y < 1$. Учитывая условие $y > 0$, получаем решение для первого случая: $0 < y < 1$.

Случай 2: $y < 0$
Умножаем обе части на $y$, знак неравенства меняется на противоположный:
$1 < y^2$
$y^2 > 1$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $y < -1$ или $y > 1$. Учитывая условие $y < 0$, получаем решение для второго случая: $y < -1$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется при $y \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Подберем два числа, являющиеся решениями:
- Пусть $y = 0.5$ (из интервала $(0, 1)$). Проверяем: $\frac{1}{0.5} > 0.5 \implies 2 > 0.5$. Неравенство верно.
- Пусть $y = -2$ (из интервала $(-\infty, -1)$). Проверяем: $\frac{1}{-2} > -2 \implies -0.5 > -2$. Неравенство верно.

Подберем два числа, не являющиеся решениями (из области $[-1, 0) \cup [1, \infty)$):
- Пусть $y = 2$. Проверяем: $\frac{1}{2} > 2 \implies 0.5 > 2$. Неравенство неверно.
- Пусть $y = -0.5$. Проверяем: $\frac{1}{-0.5} > -0.5 \implies -2 > -0.5$. Неравенство неверно.

Ответ: числа, являющиеся решениями: 0.5 и -2; числа, не являющиеся решениями: 2 и -0.5.

в) $a > -a^2$

Для решения неравенства перенесем все члены в левую часть:
$a + a^2 > 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a+1) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $a(a+1)=0$. Корни: $a_1=0$ и $a_2=-1$.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, \infty)$. Определим знак выражения $a(a+1)$ в каждом интервале:
- При $a < -1$ (например, $a=-2$): $(-2)(-2+1) = 2 > 0$. Интервал подходит.
- При $-1 < a < 0$ (например, $a=-0.5$): $(-0.5)(-0.5+1) = -0.25 < 0$. Интервал не подходит.
- При $a > 0$ (например, $a=1$): $1(1+1) = 2 > 0$. Интервал подходит.
Таким образом, решение неравенства: $a \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Подберем два числа, являющиеся решениями:
- Пусть $a = 1$ (из интервала $(0, \infty)$). Проверяем: $1 > -(1^2) \implies 1 > -1$. Неравенство верно.
- Пусть $a = -2$ (из интервала $(-\infty, -1)$). Проверяем: $-2 > -((-2)^2) \implies -2 > -4$. Неравенство верно.

Подберем два числа, не являющиеся решениями (из отрезка $[-1, 0]$):
- Пусть $a = 0$. Проверяем: $0 > -(0^2) \implies 0 > 0$. Неравенство неверно.
- Пусть $a = -1$. Проверяем: $-1 > -((-1)^2) \implies -1 > -1$. Неравенство неверно.

Ответ: числа, являющиеся решениями: 1 и -2; числа, не являющиеся решениями: 0 и -1.