Страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

93 Решите неравенство:

a) $\frac{2-x}{6} + \frac{x+7}{15} < \frac{8-x}{2}$;

б) $\frac{2z+1}{18} - \frac{z+2}{9} > \frac{z-6}{6}$;

в) $\frac{19}{4} - \frac{5y+16}{3} \le \frac{3y+1}{4} - 2y$;

г) $\frac{z-3}{8} + \frac{3z-37}{2} \le \frac{25-z}{4} + 3$;

д) $\frac{5y-9}{10} - \frac{5-6y}{5} \ge \frac{10y-9}{14} - \frac{3-4y}{7}$;

е) $\frac{x+5}{5} - \frac{x+4}{3} + \frac{x-1}{2} > x-4$;

ж) $\frac{y-4}{2} - \frac{y-3}{3} \le \frac{2(y-2)}{3} - \frac{y+1}{2}$;

3) $3z + \frac{3-2z}{2} \ge z - \frac{1-5z}{5}$.

а)

Исходное неравенство: $\frac{2 - x}{6} + \frac{x + 7}{15} < \frac{8 - x}{2}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 6, 15 и 2. Это 30.
Умножим обе части неравенства на 30, чтобы избавиться от дробей: $30 \cdot \frac{2 - x}{6} + 30 \cdot \frac{x + 7}{15} < 30 \cdot \frac{8 - x}{2}$
$5(2 - x) + 2(x + 7) < 15(8 - x)$
Раскроем скобки: $10 - 5x + 2x + 14 < 120 - 15x$
Приведем подобные слагаемые в каждой части: $24 - 3x < 120 - 15x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $-3x + 15x < 120 - 24$
$12x < 96$
Разделим обе части на 12: $x < 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{2z + 1}{18} - \frac{z + 2}{9} > \frac{z - 6}{6}$.
Наименьший общий знаменатель для 18, 9 и 6 равен 18.
Умножим обе части неравенства на 18: $18 \cdot \frac{2z + 1}{18} - 18 \cdot \frac{z + 2}{9} > 18 \cdot \frac{z - 6}{6}$
$1(2z + 1) - 2(z + 2) > 3(z - 6)$
Раскроем скобки: $2z + 1 - 2z - 4 > 3z - 18$
Приведем подобные слагаемые: $-3 > 3z - 18$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую: $-3z > -18 + 3$
$-3z > -15$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный: $z < \frac{-15}{-3}$
$z < 5$
Ответ: $z \in (-\infty; 5)$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{19}{4} - \frac{5y + 16}{3} \le \frac{3y + 1}{4} - 2y$.
Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.
Умножим обе части неравенства на 12: $12 \cdot \frac{19}{4} - 12 \cdot \frac{5y + 16}{3} \le 12 \cdot \frac{3y + 1}{4} - 12 \cdot 2y$
$3 \cdot 19 - 4(5y + 16) \le 3(3y + 1) - 24y$
Раскроем скобки: $57 - 20y - 64 \le 9y + 3 - 24y$
Приведем подобные слагаемые: $-7 - 20y \le -15y + 3$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую: $-20y + 15y \le 3 + 7$
$-5y \le 10$
Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный: $y \ge \frac{10}{-5}$
$y \ge -2$
Ответ: $y \in [-2; +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{z - 3}{8} + \frac{3z - 37}{2} \le \frac{25 - z}{4} + 3$.
Наименьший общий знаменатель для 8, 2 и 4 равен 8.
Умножим обе части неравенства на 8: $8 \cdot \frac{z - 3}{8} + 8 \cdot \frac{3z - 37}{2} \le 8 \cdot \frac{25 - z}{4} + 8 \cdot 3$
$1(z - 3) + 4(3z - 37) \le 2(25 - z) + 24$
Раскроем скобки: $z - 3 + 12z - 148 \le 50 - 2z + 24$
Приведем подобные слагаемые: $13z - 151 \le 74 - 2z$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую: $13z + 2z \le 74 + 151$
$15z \le 225$
Разделим обе части на 15: $z \le \frac{225}{15}$
$z \le 15$
Ответ: $z \in (-\infty; 15]$.

д)

Исходное неравенство: $\frac{5y - 9}{10} - \frac{5 - 6y}{5} \ge \frac{10y - 9}{14} - \frac{3 - 4y}{7}$.
Наименьший общий знаменатель для 10, 5, 14 и 7 равен 70.
Умножим обе части неравенства на 70: $70 \cdot \frac{5y - 9}{10} - 70 \cdot \frac{5 - 6y}{5} \ge 70 \cdot \frac{10y - 9}{14} - 70 \cdot \frac{3 - 4y}{7}$
$7(5y - 9) - 14(5 - 6y) \ge 5(10y - 9) - 10(3 - 4y)$
Раскроем скобки: $35y - 63 - 70 + 84y \ge 50y - 45 - 30 + 40y$
Приведем подобные слагаемые: $119y - 133 \ge 90y - 75$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую: $119y - 90y \ge -75 + 133$
$29y \ge 58$
Разделим обе части на 29: $y \ge 2$
Ответ: $y \in [2; +\infty)$.

е)

Исходное неравенство: $\frac{x + 5}{5} - \frac{x + 4}{3} + \frac{x - 1}{2} > x - 4$.
Наименьший общий знаменатель для 5, 3 и 2 равен 30.
Умножим обе части неравенства на 30: $30 \cdot \frac{x + 5}{5} - 30 \cdot \frac{x + 4}{3} + 30 \cdot \frac{x - 1}{2} > 30(x - 4)$
$6(x + 5) - 10(x + 4) + 15(x - 1) > 30x - 120$
Раскроем скобки: $6x + 30 - 10x - 40 + 15x - 15 > 30x - 120$
Приведем подобные слагаемые: $11x - 25 > 30x - 120$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую: $11x - 30x > -120 + 25$
$-19x > -95$
Разделим обе части на -19, изменив знак неравенства на противоположный: $x < \frac{-95}{-19}$
$x < 5$
Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

ж)

Исходное неравенство: $\frac{y - 4}{2} - \frac{y - 3}{3} \le \frac{2(y - 2)}{3} - \frac{y + 1}{2}$.
Сначала упростим выражение в правой части: $\frac{2(y-2)}{3} = \frac{2y-4}{3}$.
Неравенство примет вид: $\frac{y - 4}{2} - \frac{y - 3}{3} \le \frac{2y - 4}{3} - \frac{y + 1}{2}$.
Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6.
Умножим обе части неравенства на 6: $6 \cdot \frac{y - 4}{2} - 6 \cdot \frac{y - 3}{3} \le 6 \cdot \frac{2y - 4}{3} - 6 \cdot \frac{y + 1}{2}$
$3(y - 4) - 2(y - 3) \le 2(2y - 4) - 3(y + 1)$
Раскроем скобки: $3y - 12 - 2y + 6 \le 4y - 8 - 3y - 3$
Приведем подобные слагаемые: $y - 6 \le y - 11$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну часть: $y - y \le -11 + 6$
$0 \le -5$
Полученное неравенство является ложным, так как 0 не меньше и не равно -5. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет ($y \in \emptyset$).

з)

Исходное неравенство: $3z + \frac{3 - 2z}{2} \ge z - \frac{1 - 5z}{5}$.
Наименьший общий знаменатель для 2 и 5 равен 10.
Умножим все члены неравенства на 10: $10 \cdot 3z + 10 \cdot \frac{3 - 2z}{2} \ge 10 \cdot z - 10 \cdot \frac{1 - 5z}{5}$
$30z + 5(3 - 2z) \ge 10z - 2(1 - 5z)$
Раскроем скобки: $30z + 15 - 10z \ge 10z - 2 + 10z$
Приведем подобные слагаемые: $20z + 15 \ge 20z - 2$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в одну часть: $20z - 20z \ge -2 - 15$
$0 \ge -17$
Полученное неравенство является верным при любом значении переменной, так как 0 всегда больше -17. Следовательно, решением неравенства является любое действительное число.
Ответ: $z$ - любое число ($z \in (-\infty; +\infty)$).

94 а) Найдите наименьшее целое число, при котором разность многочленов $-x^2 + x - 7$ и $12 + 6x - x^2$ отрицательна.

б) Найдите наибольшее целое число, при котором разность квадратов выражений $2(x - 3)$ и $2x - 1$ положительна.

а)

Чтобы найти наименьшее целое число, при котором разность многочленов $-x^2 + x - 7$ и $12 + 6x - x^2$ отрицательна, необходимо составить и решить неравенство.

Запишем разность многочленов:

$(-x^2 + x - 7) - (12 + 6x - x^2)$

По условию задачи, эта разность должна быть отрицательной, то есть меньше нуля:

$(-x^2 + x - 7) - (12 + 6x - x^2) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + x - 7 - 12 - 6x + x^2 < 0$

$(-x^2 + x^2) + (x - 6x) + (-7 - 12) < 0$

$-5x - 19 < 0$

Теперь решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$-5x < 19$

Разделим обе части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{19}{-5}$

$x > -3.8$

Мы ищем наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству. Целые числа, которые больше -3.8, это -3, -2, -1, 0, 1 и так далее. Наименьшим из этих целых чисел является -3.

Ответ: -3

б)

Чтобы найти наибольшее целое число, при котором разность квадратов выражений $2(x-3)$ и $2x-1$ положительна, составим и решим соответствующее неравенство.

Первое выражение: $2(x-3) = 2x - 6$.
Второе выражение: $2x - 1$.

Запишем разность квадратов этих выражений. По условию, она должна быть положительной, то есть больше нуля:

$(2(x-3))^2 - (2x-1)^2 > 0$

$(2x - 6)^2 - (2x - 1)^2 > 0$

Для решения этого неравенства удобно использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2x-6$ и $b = 2x-1$:

$((2x-6) - (2x-1)) \cdot ((2x-6) + (2x-1)) > 0$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(2x - 6 - 2x + 1) \cdot (2x - 6 + 2x - 1) > 0$

$(-5) \cdot (4x - 7) > 0$

Разделим обе части неравенства на -5, меняя знак неравенства на противоположный:

$4x - 7 < 0$

Теперь решим полученное простое линейное неравенство:

$4x < 7$

$x < \frac{7}{4}$

$x < 1.75$

Мы ищем наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству. Целые числа, которые меньше 1.75, это 1, 0, -1, -2 и так далее. Наибольшим из этих целых чисел является 1.

Ответ: 1

95. Найдите все положительные решения неравенства:

a) $ \frac{x}{2} - 3 < \frac{x}{3} - 1; $

б) $ 2x + \frac{1}{4} < \frac{x}{2} + 4. $

а) Дано неравенство $\frac{x}{2} - 3 < \frac{x}{3} - 1$.

Чтобы избавиться от дробей в знаменателе, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, которое равно 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot (\frac{x}{2} - 3) < 6 \cdot (\frac{x}{3} - 1)$

Раскроем скобки:

$6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 3 < 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 1$

$3x - 18 < 2x - 6$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а числовые слагаемые — в правой части. Для этого вычтем $2x$ из обеих частей и прибавим 18 к обеим частям:

$3x - 2x < 18 - 6$

$x < 12$

По условию задачи требуется найти все положительные решения. Это означает, что $x$ должен быть больше нуля, то есть $x > 0$.

Объединим оба условия в систему неравенств:

$\begin{cases} x < 12 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков $(-\infty, 12)$ и $(0, +\infty)$, что дает нам интервал $(0, 12)$.

Ответ: $x \in (0, 12)$.

б) Дано неравенство $2x + \frac{1}{4} < \frac{x}{2} + 4$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, которое равно 4. Знак неравенства при этом не изменится, так как 4 > 0.

$4 \cdot (2x + \frac{1}{4}) < 4 \cdot (\frac{x}{2} + 4)$

Раскроем скобки:

$4 \cdot 2x + 4 \cdot \frac{1}{4} < 4 \cdot \frac{x}{2} + 4 \cdot 4$

$8x + 1 < 2x + 16$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$8x - 2x < 16 - 1$

$6x < 15$

Разделим обе части неравенства на 6:

$x < \frac{15}{6}$

Сократим дробь в правой части:

$x < \frac{5}{2}$

Можно также записать в виде десятичной дроби: $x < 2.5$.

Согласно условию, мы ищем только положительные решения, то есть $x > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x < \frac{5}{2} \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(0, \frac{5}{2})$.

Ответ: $x \in (0, \frac{5}{2})$.

96 Найдите все решения неравенства, принадлежащие указанному промежутку:

а) $\frac{2x - 1}{2} > \frac{1 + 5x}{8} - 1$, $[-2; 3];$

б) $\frac{(2x + 1)^2}{3} - \frac{2x + 1}{2} \le \frac{4x^2}{3} - 1$, $[-3; -1];$

в) $\frac{x + 2}{20} - \frac{1 - 2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10}$, $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}];$

г) $\frac{3x - 2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x + 1}{5} - \frac{1}{2}$, $[-15; 15].$

а) Решим неравенство $ \frac{2x-1}{2} > \frac{1+5x}{8} - 1 $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 8:

$ 8 \cdot \frac{2x-1}{2} > 8 \cdot \left(\frac{1+5x}{8} - 1\right) $

$ 4(2x-1) > 1+5x - 8 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 8x - 4 > 5x - 7 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 8x - 5x > -7 + 4 $

$ 3x > -3 $

$ x > -1 $

Решением неравенства является промежуток $ (-1; +\infty) $. Теперь найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-2; 3] $.

Пересечением множеств $ x \in (-1; +\infty) $ и $ x \in [-2; 3] $ является промежуток $ (-1; 3] $.

Ответ: $ (-1; 3] $

б) Решим неравенство $ \frac{(2x+1)^2}{3} - \frac{2x+1}{2} \le \frac{4x^2}{3} - 1 $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$ 6 \cdot \frac{(2x+1)^2}{3} - 6 \cdot \frac{2x+1}{2} \le 6 \cdot \frac{4x^2}{3} - 6 \cdot 1 $

$ 2(2x+1)^2 - 3(2x+1) \le 2(4x^2) - 6 $

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат $ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $:

$ 2(4x^2 + 4x + 1) - 3(2x+1) \le 8x^2 - 6 $

$ 8x^2 + 8x + 2 - 6x - 3 \le 8x^2 - 6 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 8x^2 + 2x - 1 \le 8x^2 - 6 $

Вычтем $ 8x^2 $ из обеих частей:

$ 2x - 1 \le -6 $

$ 2x \le -6 + 1 $

$ 2x \le -5 $

$ x \le -2.5 $

Решением неравенства является промежуток $ (-\infty; -2.5] $. Найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-3; -1] $.

Пересечением множеств $ x \in (-\infty; -2.5] $ и $ x \in [-3; -1] $ является промежуток $ [-3; -2.5] $.

Ответ: $ [-3; -2.5] $

в) Решим неравенство $ \frac{x+2}{20} - \frac{1-2x}{5} \le \frac{3x}{20} - \frac{1}{10} $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 20:

$ 20 \cdot \frac{x+2}{20} - 20 \cdot \frac{1-2x}{5} \le 20 \cdot \frac{3x}{20} - 20 \cdot \frac{1}{10} $

$ (x+2) - 4(1-2x) \le 3x - 2 $

Раскроем скобки:

$ x + 2 - 4 + 8x \le 3x - 2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x - 2 \le 3x - 2 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 9x - 3x \le -2 + 2 $

$ 6x \le 0 $

$ x \le 0 $

Решением неравенства является промежуток $ (-\infty; 0] $. Найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] $.

Пересечением множеств $ x \in (-\infty; 0] $ и $ x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}] $ является промежуток $ [-\frac{1}{2}; 0] $.

Ответ: $ [-\frac{1}{2}; 0] $

г) Решим неравенство $ \frac{3x-2}{5} + \frac{1}{2} \ge \frac{4x+1}{5} - \frac{1}{2} $.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 10:

$ 10 \cdot \frac{3x-2}{5} + 10 \cdot \frac{1}{2} \ge 10 \cdot \frac{4x+1}{5} - 10 \cdot \frac{1}{2} $

$ 2(3x-2) + 5 \ge 2(4x+1) - 5 $

Раскроем скобки:

$ 6x - 4 + 5 \ge 8x + 2 - 5 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 6x + 1 \ge 8x - 3 $

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$ 1 + 3 \ge 8x - 6x $

$ 4 \ge 2x $

Разделим на 2:

$ 2 \ge x $, что равносильно $ x \le 2 $.

Решением неравенства является промежуток $ (-\infty; 2] $. Найдем пересечение этого решения с указанным промежутком $ [-15; 15] $.

Пересечением множеств $ x \in (-\infty; 2] $ и $ x \in [-15; 15] $ является промежуток $ [-15; 2] $.

Ответ: $ [-15; 2] $

97 a) Найдите все целые положительные решения неравенства

$2x < \sqrt{20}$.

б) Найдите все целые отрицательные решения неравенства

$-3x < \sqrt{40}$.

а) Найдите все целые положительные решения неравенства $2x < \sqrt{20}$.

По условию, мы ищем целые положительные решения, то есть $x$ должен быть целым числом и $x > 0$. Для таких $x$ левая часть неравенства $2x$ положительна. Правая часть $\sqrt{20}$ также положительна. Поэтому мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(2x)^2 < (\sqrt{20})^2$
$4x^2 < 20$

Разделим обе части неравенства на 4:

$x^2 < 5$

Теперь нам нужно найти все целые положительные числа $x$, квадрат которых меньше 5. Переберем возможные значения $x$:

• Если $x = 1$, то $x^2 = 1^2 = 1$. Неравенство $1 < 5$ верно. Значит, $x=1$ является решением.
• Если $x = 2$, то $x^2 = 2^2 = 4$. Неравенство $4 < 5$ верно. Значит, $x=2$ является решением.
• Если $x = 3$, то $x^2 = 3^2 = 9$. Неравенство $9 < 5$ неверно.

При увеличении $x$ его квадрат также будет увеличиваться, поэтому для $x \geq 3$ неравенство выполняться не будет. Таким образом, целыми положительными решениями являются 1 и 2.

Ответ: 1, 2.

б) Найдите все целые отрицательные решения неравенства $-3x < \sqrt{40}$.

По условию, мы ищем целые отрицательные решения, то есть $x$ должен быть целым числом и $x < 0$. Решим неравенство. Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x > -\frac{\sqrt{40}}{3}$

Чтобы найти целые решения, оценим значение $-\frac{\sqrt{40}}{3}$. Найдем, между какими целыми числами находится $\sqrt{40}$:

$6^2 = 36$
$7^2 = 49$

Отсюда следует, что $6 < \sqrt{40} < 7$. Теперь разделим все части двойного неравенства на 3:

$\frac{6}{3} < \frac{\sqrt{40}}{3} < \frac{7}{3}$
$2 < \frac{\sqrt{40}}{3} < 2\frac{1}{3}$

Умножим на -1, поменяв знаки неравенства:

$-2\frac{1}{3} < -\frac{\sqrt{40}}{3} < -2$

Итак, мы ищем целые отрицательные числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x > -\frac{\sqrt{40}}{3}$. Поскольку $-\frac{\sqrt{40}}{3}$ — это число между -2 и -3 (точнее, между $-2\frac{1}{3}$ и -2), то целые числа, которые больше этого значения, — это -2, -1, 0, 1, ... Из этого множества нам нужно выбрать только отрицательные.

Такими числами являются -2 и -1.

Ответ: -2, -1.