Страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

104 Изобразите на координатной прямой каждое из заданных множеств (если оно не пусто):

а) $\begin{cases} x > 1,5 \\ x < 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x > 4 \\ x > 6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x \le 0 \\ x \le -0,5; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < 2 \\ x > 3; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x > 4 \\ x \ge -7; \end{cases}$

е) $-2 \le x \le 5;$

ж) $\begin{cases} x < 7 \\ x < 1,5; \end{cases}$

з) $\begin{cases} x \le -4 \\ x \ge -1,7; \end{cases}$

и) $-3 \le x < 1.$

а)

Дана система неравенств $\begin{cases} x > 1,5 \\ x < 7 \end{cases}$. Решением этой системы являются все числа $x$, которые одновременно больше 1,5 и меньше 7. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1,5 < x < 7$.

На координатной прямой это множество изображается как интервал между точками 1,5 и 7. Концы интервала, точки 1,5 и 7, не включаются в множество, так как неравенства строгие. На прямой они обозначаются выколотыми (пустыми) точками. Заштриховывается область между этими точками.

Ответ: $(1,5; 7)$

б)

Дана система неравенств $\begin{cases} x > 4 \\ x > 6 \end{cases}$. Нужно найти все числа $x$, которые одновременно больше 4 и больше 6. Если число больше 6, оно автоматически будет больше 4. Поэтому общее решение определяется более строгим неравенством: $x > 6$.

На координатной прямой отмечаем выколотые точки 4 и 6. Штрихуем область правее 4 и область правее 6. Пересечением этих двух областей будет область правее 6. Это открытый луч, идущий от 6 вправо до $+\infty$.

Ответ: $(6; +\infty)$

в)

Дана система неравенств $\begin{cases} x \le 0 \\ x \le -0,5 \end{cases}$. Требуется найти все числа $x$, которые одновременно меньше или равны 0 и меньше или равны -0,5. Если число меньше или равно -0,5, оно автоматически будет меньше или равно 0. Следовательно, решением является более строгое неравенство: $x \le -0,5$.

На координатной прямой отмечаем точки 0 и -0,5. Так как неравенства нестрогие, точки включаются в множество и обозначаются закрашенными. Штрихуем область левее 0 и область левее -0,5. Пересечением будет область левее -0,5, включая саму точку. Это замкнутый луч, идущий от -0,5 влево до $-\infty$.

Ответ: $(-\infty; -0,5]$

г)

Дана система неравенств $\begin{cases} x < 2 \\ x > 3 \end{cases}$. Необходимо найти числа $x$, которые одновременно меньше 2 и больше 3.

На координатной прямой множество чисел, меньших 2, находится левее точки 2, а множество чисел, больших 3, находится правее точки 3. Эти два множества не имеют общих точек, их пересечение пусто. Следовательно, нет чисел, удовлетворяющих обоим условиям.

Ответ: Множество пустое, $\emptyset$.

д)

Дана система неравенств $\begin{cases} x > 4 \\ x \ge -7 \end{cases}$. Нужно найти числа $x$, которые одновременно больше 4 и больше или равны -7. Любое число, которое больше 4, автоматически будет больше или равно -7. Поэтому решение определяется более строгим неравенством: $x > 4$.

На координатной прямой отмечаем точку 4 (выколотая) и точку -7 (закрашенная). Пересечением областей $x > 4$ и $x \ge -7$ будет область $x > 4$. Это открытый луч, идущий от 4 вправо до $+\infty$.

Ответ: $(4; +\infty)$

е)

Дано двойное неравенство $-2 \le x \le 5$. Оно означает, что число $x$ должно быть одновременно больше или равно -2 и меньше или равно 5.

На координатной прямой это множество изображается как отрезок с концами в точках -2 и 5. Так как неравенства нестрогие, обе точки включаются в множество и обозначаются закрашенными. Решением является заштрихованная область между -2 и 5, включая концы.

Ответ: $[-2; 5]$

ж)

Дана система неравенств $\begin{cases} x < 7 \\ x < 1,5 \end{cases}$. Нужно найти все числа $x$, которые одновременно меньше 7 и меньше 1,5. Если число меньше 1,5, оно автоматически будет меньше 7. Таким образом, решение определяется более строгим неравенством: $x < 1,5$.

На координатной прямой отмечаем выколотые точки 1,5 и 7. Пересечением областей $x < 7$ и $x < 1,5$ будет область $x < 1,5$. Это открытый луч, идущий от 1,5 влево до $-\infty$.

Ответ: $(-\infty; 1,5)$

з)

Дана система неравенств $\begin{cases} x \le -4 \\ x \ge -1,7 \end{cases}$. Нужно найти числа $x$, которые одновременно меньше или равны -4 и больше или равны -1,7.

На координатной прямой число -4 находится левее числа -1,7. Множество чисел $x \le -4$ находится левее точки -4, а множество чисел $x \ge -1,7$ находится правее точки -1,7. Эти множества не пересекаются. Значит, решений нет.

Ответ: Множество пустое, $\emptyset$.

и)

Дано двойное неравенство $-3 \le x < 1$. Оно означает, что число $x$ должно быть одновременно больше или равно -3 и строго меньше 1.

На координатной прямой это множество изображается как полуинтервал. Точка -3 включается в множество (неравенство нестрогое) и обозначается закрашенной. Точка 1 не включается в множество (неравенство строгое) и обозначается выколотой. Решением является заштрихованная область между -3 и 1, включая точку -3, но не включая точку 1.

Ответ: $[-3; 1)$

105 Решите систему неравенств и ответьте на вопрос, сколько целых решений имеет эта система:

а) $\begin{cases} x - 2 > -1 \\ x + 5 < 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - 3 < 2 \\ y + 2 \ge -6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5 - z < 2 \\ 4 + z > 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 1 + y \le -3 \\ y - 2 \ge -8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2x - 1 \le -1 \\ 2x - 1 \ge -6; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 9 - 2z > 11 \\ 3z - 4 < 5. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - 2 > -1 \\ x + 5 < 9 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $x - 2 > -1$.

Прибавим 2 к обеим частям: $x > -1 + 2$.

Получаем: $x > 1$.

2. Решим второе неравенство: $x + 5 < 9$.

Вычтем 5 из обеих частей: $x < 9 - 5$.

Получаем: $x < 4$.

3. Объединим решения. Решением системы является интервал, в котором выполняются оба условия: $1 < x < 4$.

4. Найдем целые числа, принадлежащие этому интервалу. Это 2 и 3.

Система имеет 2 целых решения.

Ответ: 2.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} y - 3 < 2 \\ y + 2 \ge -6 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $y - 3 < 2$.

Прибавим 3 к обеим частям: $y < 2 + 3$.

Получаем: $y < 5$.

2. Решим второе неравенство: $y + 2 \ge -6$.

Вычтем 2 из обеих частей: $y \ge -6 - 2$.

Получаем: $y \ge -8$.

3. Объединим решения: $-8 \le y < 5$.

4. Найдем целые числа в этом промежутке: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Количество целых решений равно $4 - (-8) + 1 = 13$.

Ответ: 13.

в)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 5 - z < 2 \\ 4 + z > 7 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $5 - z < 2$.

Вычтем 5 из обеих частей: $-z < 2 - 5$, что дает $-z < -3$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $z > 3$.

2. Решим второе неравенство: $4 + z > 7$.

Вычтем 4 из обеих частей: $z > 7 - 4$.

Получаем: $z > 3$.

3. Оба неравенства дают одно и то же решение: $z > 3$.

4. Целые решения - это все целые числа, которые больше 3: 4, 5, 6, 7, ... и так далее до бесконечности.

Система имеет бесконечно много целых решений.

Ответ: бесконечно много.

г)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 1 + y \le -3 \\ y - 2 \ge -8 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $1 + y \le -3$.

Вычтем 1 из обеих частей: $y \le -3 - 1$.

Получаем: $y \le -4$.

2. Решим второе неравенство: $y - 2 \ge -8$.

Прибавим 2 к обеим частям: $y \ge -8 + 2$.

Получаем: $y \ge -6$.

3. Объединим решения: $-6 \le y \le -4$.

4. Найдем целые числа в этом промежутке: -6, -5, -4.

Система имеет 3 целых решения.

Ответ: 3.

д)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 1 \le -1 \\ 2x - 1 \ge -6 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $2x - 1 \le -1$.

Прибавим 1 к обеим частям: $2x \le 0$.

Разделим на 2: $x \le 0$.

2. Решим второе неравенство: $2x - 1 \ge -6$.

Прибавим 1 к обеим частям: $2x \ge -5$.

Разделим на 2: $x \ge -2.5$.

3. Объединим решения: $-2.5 \le x \le 0$.

4. Найдем целые числа в этом промежутке: -2, -1, 0.

Система имеет 3 целых решения.

Ответ: 3.

е)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 9 - 2z > 11 \\ 3z - 4 < 5 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $9 - 2z > 11$.

Вычтем 9 из обеих частей: $-2z > 2$.

Разделим на -2, изменив знак неравенства: $z < -1$.

2. Решим второе неравенство: $3z - 4 < 5$.

Прибавим 4 к обеим частям: $3z < 9$.

Разделим на 3: $z < 3$.

3. Объединим решения. Мы должны удовлетворить обоим условиям: $z < -1$ и $z < 3$. Пересечением этих условий является $z < -1$.

4. Целые решения - это все целые числа, которые меньше -1: -2, -3, -4, ... и так далее до бесконечности.

Система имеет бесконечно много целых решений.

Ответ: бесконечно много.

Решите систему неравенств (106–108).

106 а) $ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $;

б) $ \begin{cases} 3y - 12 < 0 \\ 2y + 3 > 0 \end{cases} $;

в) $ \begin{cases} 10 - 5z > 0 \\ 2z - 1 < 0 \end{cases} $;

г) $ \begin{cases} 1 - 2y \ge 0 \\ 4y - 1 \ge 0 \end{cases} $;

д) $ \begin{cases} 2 - 6x > 0 \\ 2 - 4x < 0 \end{cases} $;

е) $ \begin{cases} 2 + 3z < 0 \\ 1 + 3z < 0 \end{cases} $.

а) Решим систему неравенств:$\begin{cases}x - 3 > 0 \\x + 2 > 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $x - 3 > 0 \implies x > 3$
2) $x + 2 > 0 \implies x > -2$
Найдем пересечение полученных решений. Нам нужны значения $x$, которые одновременно больше 3 и больше -2. Если число больше 3, оно автоматически больше -2. Таким образом, общее решение — это $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$

б) Решим систему неравенств:$\begin{cases}3y - 12 < 0 \\2y + 3 > 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $3y - 12 < 0 \implies 3y < 12 \implies y < 4$
2) $2y + 3 > 0 \implies 2y > -3 \implies y > -1.5$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $y$, которые удовлетворяют обоим условиям: $y < 4$ и $y > -1.5$. Это соответствует интервалу $-1.5 < y < 4$.

Ответ: $(-1.5; 4)$

в) Решим систему неравенств:$\begin{cases}10 - 5z > 0 \\2z - 1 < 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $10 - 5z > 0 \implies 10 > 5z \implies 2 > z \implies z < 2$
2) $2z - 1 < 0 \implies 2z < 1 \implies z < 0.5$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $z$, которые одновременно меньше 2 и меньше 0.5. Если число меньше 0.5, оно автоматически меньше 2. Следовательно, общее решение — это $z < 0.5$.

Ответ: $(-\infty; 0.5)$

г) Решим систему неравенств:$\begin{cases}1 - 2y \ge 0 \\4y - 1 \ge 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $1 - 2y \ge 0 \implies 1 \ge 2y \implies 0.5 \ge y \implies y \le 0.5$
2) $4y - 1 \ge 0 \implies 4y \ge 1 \implies y \ge 0.25$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $y$, которые удовлетворяют обоим условиям: $y \le 0.5$ и $y \ge 0.25$. Это соответствует отрезку $0.25 \le y \le 0.5$.

Ответ: $[0.25; 0.5]$

д) Решим систему неравенств:$\begin{cases}2 - 6x > 0 \\2 - 4x < 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $2 - 6x > 0 \implies 2 > 6x \implies \frac{2}{6} > x \implies x < \frac{1}{3}$
2) $2 - 4x < 0 \implies 2 < 4x \implies \frac{2}{4} < x \implies x > \frac{1}{2}$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $x$, которые одновременно меньше $\frac{1}{3}$ и больше $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, не существует чисел, которые бы удовлетворяли обоим этим условиям одновременно.

Ответ: нет решений

е) Решим систему неравенств:$\begin{cases}2 + 3z < 0 \\1 + 3z < 0\end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно:
1) $2 + 3z < 0 \implies 3z < -2 \implies z < -\frac{2}{3}$
2) $1 + 3z < 0 \implies 3z < -1 \implies z < -\frac{1}{3}$
Найдем пересечение решений. Нам нужны значения $z$, которые одновременно меньше $-\frac{2}{3}$ и меньше $-\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{2}{3} \approx -0.67$, а $-\frac{1}{3} \approx -0.33$, то условие $z < -\frac{2}{3}$ является более строгим. Если число меньше $-\frac{2}{3}$, оно автоматически меньше $-\frac{1}{3}$. Следовательно, общее решение — это $z < -\frac{2}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3})$

107 a) $\begin{cases} 7x - 12 \geq 13x \\ 1 - 4x > 13 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2z - 9 \geq 3z - 3 \\ 3z + 4 \geq z + 10 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5y < 2y + 9 \\ 8 - 2y > 10 \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 2z + 6 > 3z - 1 \\ 5z - 1 \geq 2z + 8 \end{cases}$

д) $\begin{cases} 6y - 1 < 3y + 14 \\ 8 - y > 3y \end{cases}$

е) $\begin{cases} 6 - 4x \geq 4 - 3x \\ 7 - 3x \geq 6 - 4x \end{cases}$

ж) $\begin{cases} 3z + 2 \geq 7 + 4z \\ 4z - 1 < 2z + 7 \end{cases}$

з) $\begin{cases} 2y + 8 \leq y + 4 \\ 2y + 8 \geq y - 1 \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 7x - 12 \ge 13x \\ 1 - 4x > 13 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $7x - 12 \ge 13x$
$7x - 13x \ge 12$
$-6x \ge 12$
При делении на отрицательное число (-6) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{12}{-6}$
$x \le -2$

2) $1 - 4x > 13$
$-4x > 13 - 1$
$-4x > 12$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{12}{-4}$
$x < -3$

Теперь найдем пересечение решений: $x \le -2$ и $x < -3$.
Общим решением для системы является промежуток, где выполняются оба неравенства, то есть $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2z - 9 \ge 3z - 3 \\ 3z + 4 \ge z + 10 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $2z - 9 \ge 3z - 3$
$2z - 3z \ge -3 + 9$
$-z \ge 6$
$z \le -6$

2) $3z + 4 \ge z + 10$
$3z - z \ge 10 - 4$
$2z \ge 6$
$z \ge 3$

Теперь найдем пересечение решений: $z \le -6$ и $z \ge 3$.
Множества решений не пересекаются, так как не существует числа, которое одновременно меньше или равно -6 и больше или равно 3.

Ответ: решений нет.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5y < 2y + 9 \\ 8 - 2y > 10 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $5y < 2y + 9$
$5y - 2y < 9$
$3y < 9$
$y < 3$

2) $8 - 2y > 10$
$-2y > 10 - 8$
$-2y > 2$
$y < -1$

Теперь найдем пересечение решений: $y < 3$ и $y < -1$.
Общим решением является $y < -1$.

Ответ: $y \in (-\infty, -1)$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2z + 6 > 3z - 1 \\ 5z - 1 \ge 2z + 8 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $2z + 6 > 3z - 1$
$6 + 1 > 3z - 2z$
$7 > z$, или $z < 7$

2) $5z - 1 \ge 2z + 8$
$5z - 2z \ge 8 + 1$
$3z \ge 9$
$z \ge 3$

Теперь найдем пересечение решений: $z < 7$ и $z \ge 3$.
Общим решением является $3 \le z < 7$.

Ответ: $z \in [3, 7)$.

д)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6y - 1 < 3y + 14 \\ 8 - y > 3y \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6y - 1 < 3y + 14$
$6y - 3y < 14 + 1$
$3y < 15$
$y < 5$

2) $8 - y > 3y$
$8 > 3y + y$
$8 > 4y$
$2 > y$, или $y < 2$

Теперь найдем пересечение решений: $y < 5$ и $y < 2$.
Общим решением является $y < 2$.

Ответ: $y \in (-\infty, 2)$.

е)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6 - 4x \ge 4 - 3x \\ 7 - 3x \ge 6 - 4x \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $6 - 4x \ge 4 - 3x$
$6 - 4 \ge 4x - 3x$
$2 \ge x$, или $x \le 2$

2) $7 - 3x \ge 6 - 4x$
$4x - 3x \ge 6 - 7$
$x \ge -1$

Теперь найдем пересечение решений: $x \le 2$ и $x \ge -1$.
Общим решением является $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-1, 2]$.

ж)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3z + 2 \ge 7 + 4z \\ 4z - 1 < 2z + 7 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $3z + 2 \ge 7 + 4z$
$2 - 7 \ge 4z - 3z$
$-5 \ge z$, или $z \le -5$

2) $4z - 1 < 2z + 7$
$4z - 2z < 7 + 1$
$2z < 8$
$z < 4$

Теперь найдем пересечение решений: $z \le -5$ и $z < 4$.
Общим решением является $z \le -5$.

Ответ: $z \in (-\infty, -5]$.

з)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2y + 8 \le y + 4 \\ 2y + 8 \ge y - 1 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) $2y + 8 \le y + 4$
$2y - y \le 4 - 8$
$y \le -4$

2) $2y + 8 \ge y - 1$
$2y - y \ge -1 - 8$
$y \ge -9$

Теперь найдем пересечение решений: $y \le -4$ и $y \ge -9$.
Общим решением является $-9 \le y \le -4$.

Ответ: $y \in [-9, -4]$.

108 a) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3 \\ 21 - x > 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{z}{3} + z < 2 \\ 2z - 4 < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2y > -3 \\ \frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 4 > 4 \\ \frac{x}{5} - x \ge 8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} \frac{z - 1}{2} > 1 \\ z + 3 > 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} \frac{2y - 2}{2} \le -\frac{1}{3} \\ 1 - 4y \ge 0. \end{cases}$

a)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3 \\ 21 - x > 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3$

Приведем левую часть к общему знаменателю 10:

$\frac{5x - 2x}{10} > 3$

$\frac{3x}{10} > 3$

Умножим обе части на 10:

$3x > 30$

Разделим обе части на 3:

$x > 10$

2. Решим второе неравенство:

$21 - x > 1$

Перенесем 21 в правую часть:

$-x > 1 - 21$

$-x > -20$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x < 20$

3. Найдем пересечение решений $x > 10$ и $x < 20$.

Решением системы является интервал $(10; 20)$.

Ответ: $(10; 20)$

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{z}{3} + z < 2 \\ 2z - 4 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{z}{3} + z < 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю 3:

$\frac{z + 3z}{3} < 2$

$\frac{4z}{3} < 2$

Умножим обе части на 3:

$4z < 6$

Разделим обе части на 4:

$z < \frac{6}{4}$ или $z < 1,5$

2. Решим второе неравенство:

$2z - 4 < 0$

Перенесем -4 в правую часть:

$2z < 4$

Разделим обе части на 2:

$z < 2$

3. Найдем пересечение решений $z < 1,5$ и $z < 2$.

Решением системы является интервал $(-\infty; 1,5)$.

Ответ: $(-\infty; 1,5)$

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2y > -3 \\ \frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2y > -3$

Разделим обе части на 2:

$y > -\frac{3}{2}$ или $y > -1,5$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{y}{8} - \frac{2y}{8} \le \frac{4}{8}$

$\frac{-y}{8} \le \frac{4}{8}$

Умножим обе части на 8:

$-y \le 4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$y \ge -4$

3. Найдем пересечение решений $y > -1,5$ и $y \ge -4$.

Решением системы является интервал $(-1,5; +\infty)$.

Ответ: $(-1,5; +\infty)$

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x + 4 > 4 \\ \frac{x}{5} - x \ge 8 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$3x + 4 > 4$

Вычтем 4 из обеих частей:

$3x > 0$

Разделим обе части на 3:

$x > 0$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{5} - x \ge 8$

Приведем левую часть к общему знаменателю 5:

$\frac{x - 5x}{5} \ge 8$

$\frac{-4x}{5} \ge 8$

Умножим обе части на 5:

$-4x \ge 40$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства:

$x \le -10$

3. Найдем пересечение решений $x > 0$ и $x \le -10$.

Множества решений не пересекаются, так как не существует числа, которое одновременно больше 0 и меньше либо равно -10.

Ответ: нет решений.

д)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{z - 1}{2} > 1 \\ z + 3 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{z - 1}{2} > 1$

Умножим обе части на 2:

$z - 1 > 2$

Прибавим 1 к обеим частям:

$z > 3$

2. Решим второе неравенство:

$z + 3 > 0$

Вычтем 3 из обеих частей:

$z > -3$

3. Найдем пересечение решений $z > 3$ и $z > -3$.

Решением системы является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$

е)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{2y - 2}{2} \le -\frac{1}{3} \\ 1 - 4y \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2y - 2}{2} \le -\frac{1}{3}$

Разделим числитель левой части на 2:

$y - 1 \le -\frac{1}{3}$

Прибавим 1 к обеим частям:

$y \le 1 - \frac{1}{3}$

$y \le \frac{2}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$1 - 4y \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-4y \ge -1$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства:

$y \le \frac{1}{4}$

3. Найдем пересечение решений $y \le \frac{2}{3}$ и $y \le \frac{1}{4}$.

Так как $\frac{1}{4} < \frac{2}{3}$, пересечением двух множеств будет $y \le \frac{1}{4}$.

Решением системы является интервал $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}]$