Номер 108, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 108, страница 38.

108 a) $\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3 \\ 21 - x > 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{z}{3} + z < 2 \\ 2z - 4 < 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2y > -3 \\ \frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 4 > 4 \\ \frac{x}{5} - x \ge 8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} \frac{z - 1}{2} > 1 \\ z + 3 > 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} \frac{2y - 2}{2} \le -\frac{1}{3} \\ 1 - 4y \ge 0. \end{cases}$

a)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3 \\ 21 - x > 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3$

Приведем левую часть к общему знаменателю 10:

$\frac{5x - 2x}{10} > 3$

$\frac{3x}{10} > 3$

Умножим обе части на 10:

$3x > 30$

Разделим обе части на 3:

$x > 10$

2. Решим второе неравенство:

$21 - x > 1$

Перенесем 21 в правую часть:

$-x > 1 - 21$

$-x > -20$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x < 20$

3. Найдем пересечение решений $x > 10$ и $x < 20$.

Решением системы является интервал $(10; 20)$.

Ответ: $(10; 20)$

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{z}{3} + z < 2 \\ 2z - 4 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{z}{3} + z < 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю 3:

$\frac{z + 3z}{3} < 2$

$\frac{4z}{3} < 2$

Умножим обе части на 3:

$4z < 6$

Разделим обе части на 4:

$z < \frac{6}{4}$ или $z < 1,5$

2. Решим второе неравенство:

$2z - 4 < 0$

Перенесем -4 в правую часть:

$2z < 4$

Разделим обе части на 2:

$z < 2$

3. Найдем пересечение решений $z < 1,5$ и $z < 2$.

Решением системы является интервал $(-\infty; 1,5)$.

Ответ: $(-\infty; 1,5)$

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2y > -3 \\ \frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$2y > -3$

Разделим обе части на 2:

$y > -\frac{3}{2}$ или $y > -1,5$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{y}{8} - \frac{2y}{8} \le \frac{4}{8}$

$\frac{-y}{8} \le \frac{4}{8}$

Умножим обе части на 8:

$-y \le 4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$y \ge -4$

3. Найдем пересечение решений $y > -1,5$ и $y \ge -4$.

Решением системы является интервал $(-1,5; +\infty)$.

Ответ: $(-1,5; +\infty)$

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x + 4 > 4 \\ \frac{x}{5} - x \ge 8 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$3x + 4 > 4$

Вычтем 4 из обеих частей:

$3x > 0$

Разделим обе части на 3:

$x > 0$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{5} - x \ge 8$

Приведем левую часть к общему знаменателю 5:

$\frac{x - 5x}{5} \ge 8$

$\frac{-4x}{5} \ge 8$

Умножим обе части на 5:

$-4x \ge 40$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства:

$x \le -10$

3. Найдем пересечение решений $x > 0$ и $x \le -10$.

Множества решений не пересекаются, так как не существует числа, которое одновременно больше 0 и меньше либо равно -10.

Ответ: нет решений.

д)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{z - 1}{2} > 1 \\ z + 3 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{z - 1}{2} > 1$

Умножим обе части на 2:

$z - 1 > 2$

Прибавим 1 к обеим частям:

$z > 3$

2. Решим второе неравенство:

$z + 3 > 0$

Вычтем 3 из обеих частей:

$z > -3$

3. Найдем пересечение решений $z > 3$ и $z > -3$.

Решением системы является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$

е)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{2y - 2}{2} \le -\frac{1}{3} \\ 1 - 4y \ge 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2y - 2}{2} \le -\frac{1}{3}$

Разделим числитель левой части на 2:

$y - 1 \le -\frac{1}{3}$

Прибавим 1 к обеим частям:

$y \le 1 - \frac{1}{3}$

$y \le \frac{2}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$1 - 4y \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-4y \ge -1$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства:

$y \le \frac{1}{4}$

3. Найдем пересечение решений $y \le \frac{2}{3}$ и $y \le \frac{1}{4}$.

Так как $\frac{1}{4} < \frac{2}{3}$, пересечением двух множеств будет $y \le \frac{1}{4}$.

Решением системы является интервал $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}]$