Номер 114, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 114, страница 40.

114 Решите систему неравенств:

а) $$\begin{cases} 3 - \frac{z-1}{2} > 1 \\ 2z + \frac{z}{3} < 7 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 2(3y - 1) - 4(2y + 3) < 10 \\ \frac{y-3}{2} - \frac{y+4}{3} < 0 \end{cases}$$

В) $$\begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1 \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} \frac{2x+1}{5} - 1 \leq 2 \\ \frac{x}{5} - 2 \geq x \end{cases}$$

д) $$\begin{cases} \frac{y+1}{4} - \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3} \\ \frac{y-3}{4} + y < 2y - \frac{y-3}{8} \end{cases}$$

е) $$\begin{cases} \frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \leq 3z+1 \\ \frac{z-3}{2} + 2(z-1) \leq z+5 \end{cases}$$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3 - \frac{z-1}{2} > 1 \\ 2z + \frac{z}{3} < 7 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3 - \frac{z-1}{2} > 1$

Вычтем 3 из обеих частей:

$-\frac{z-1}{2} > 1 - 3$

$-\frac{z-1}{2} > -2$

Умножим обе части на -2 и сменим знак неравенства:

$z-1 < 4$

$z < 5$

2. Решим второе неравенство:

$2z + \frac{z}{3} < 7$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3 \cdot 2z + 3 \cdot \frac{z}{3} < 3 \cdot 7$

$6z + z < 21$

$7z < 21$

$z < 3$

3. Найдем пересечение решений $z < 5$ и $z < 3$. Общим решением является $z < 3$.

Ответ: $z \in (-\infty; 3)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2(3y - 1) - 4(2y + 3) < 10 \\ \frac{y-3}{2} - \frac{y+4}{3} < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2(3y - 1) - 4(2y + 3) < 10$

Раскроем скобки:

$6y - 2 - 8y - 12 < 10$

Приведем подобные слагаемые:

$-2y - 14 < 10$

$-2y < 24$

Разделим на -2 и сменим знак неравенства:

$y > -12$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{y-3}{2} - \frac{y+4}{3} < 0$

Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3):

$3(y-3) - 2(y+4) < 0$

$3y - 9 - 2y - 8 < 0$

$y - 17 < 0$

$y < 17$

3. Найдем пересечение решений $y > -12$ и $y < 17$.

Ответ: $y \in (-12; 17)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4)-8 > 6(2x-1)-1 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4}$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа в правую:

$\frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 2 - 1$

$\frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 1$

Умножим обе части на 12:

$3(x+1) - 4(2x+3) > 12$

$3x + 3 - 8x - 12 > 12$

$-5x - 9 > 12$

$-5x > 21$

$x < -\frac{21}{5}$

2. Решим второе неравенство:

$5(x-4)-8 > 6(2x-1)-1$

$5x - 20 - 8 > 12x - 6 - 1$

$5x - 28 > 12x - 7$

$-28 + 7 > 12x - 5x$

$-21 > 7x$

$-3 > x$ или $x < -3$

3. Найдем пересечение решений $x < -\frac{21}{5}$ и $x < -3$. Поскольку $-\frac{21}{5} = -4.2$, а $-4.2 < -3$, то общее решение $x < -\frac{21}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -21/5)$.

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2x+1}{5} - 1 \le 2 \\ \frac{x}{5} - 2 \ge x \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2x+1}{5} - 1 \le 2$

$\frac{2x+1}{5} \le 3$

$2x+1 \le 15$

$2x \le 14$

$x \le 7$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{x}{5} - 2 \ge x$

$\frac{x}{5} - x \ge 2$

$\frac{x - 5x}{5} \ge 2$

$\frac{-4x}{5} \ge 2$

$-4x \ge 10$

$x \le -\frac{10}{4}$

$x \le -\frac{5}{2}$

3. Найдем пересечение решений $x \le 7$ и $x \le -5/2$. Общим решением является $x \le -5/2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/2]$.

д) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{y+1}{4} - \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3} \\ \frac{y-3}{4} + y < 2y - \frac{y-3}{8} \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{y+1}{4} - \frac{y+1}{6} < \frac{y+1}{3}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\frac{y+1}{4} - \frac{y+1}{6} - \frac{y+1}{3} < 0$

Вынесем общий множитель $(y+1)$ за скобки:

$(y+1)(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3}) < 0$

$(y+1)(\frac{3}{12} - \frac{2}{12} - \frac{4}{12}) < 0$

$(y+1)(-\frac{3}{12}) < 0$

$(y+1)(-\frac{1}{4}) < 0$

Умножим обе части на -4 и сменим знак неравенства:

$y+1 > 0$

$y > -1$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{y-3}{4} + y < 2y - \frac{y-3}{8}$

Умножим обе части на 8:

$2(y-3) + 8y < 16y - (y-3)$

$2y - 6 + 8y < 16y - y + 3$

$10y - 6 < 15y + 3$

$-9 < 5y$

$y > -\frac{9}{5}$

3. Найдем пересечение решений $y > -1$ и $y > -9/5$. Поскольку $-1 > -9/5$ (т.е. $-1 > -1.8$), то общим решением является $y > -1$.

Ответ: $y \in (-1; +\infty)$.

е) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \le 3z+1 \\ \frac{z-3}{2} + 2(z-1) \le z+5 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$\frac{2z-1}{4} + \frac{z+1}{2} \le 3z+1$

Умножим обе части на 4:

$(2z-1) + 2(z+1) \le 4(3z+1)$

$2z - 1 + 2z + 2 \le 12z + 4$

$4z + 1 \le 12z + 4$

$-3 \le 8z$

$z \ge -\frac{3}{8}$

2. Решим второе неравенство:

$\frac{z-3}{2} + 2(z-1) \le z+5$

Умножим обе части на 2:

$(z-3) + 4(z-1) \le 2(z+5)$

$z - 3 + 4z - 4 \le 2z + 10$

$5z - 7 \le 2z + 10$

$3z \le 17$

$z \le \frac{17}{3}$

3. Найдем пересечение решений $z \ge -3/8$ и $z \le 17/3$.

Ответ: $z \in [-3/8; 17/3]$.