Номер 111, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 111, страница 39.

111 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Какая из следующих ситуаций возможна, а какая невозможна?

а) Один класс за 4 тетради по 20 р. и 12 шариковых ручек заплатил меньше 200 р., а другой — за одну такую же тетрадь и 15 таких же шариковых ручек заплатил больше 200 р.

б) Один покупатель за 3 кг огурцов, по 30 р. за килограмм, и 2 кг моркови заплатил больше 150 р., а другой — за 4 кг таких же огурцов и один килограмм моркови заплатил меньше 160 р.

а) Для анализа данной ситуации введем переменную. Пусть цена одной шариковой ручки равна $x$ рублей. Цена тетради известна и составляет 20 рублей.
Согласно первому условию, один класс купил 4 тетради и 12 ручек, заплатив меньше 200 рублей. Составим неравенство:
$4 \cdot 20 + 12x < 200$
$80 + 12x < 200$
$12x < 200 - 80$
$12x < 120$
$x < 10$
Это означает, что цена одной ручки должна быть меньше 10 рублей.

Согласно второму условию, другой класс купил 1 тетрадь и 15 ручек, заплатив больше 200 рублей. Составим второе неравенство:
$1 \cdot 20 + 15x > 200$
$20 + 15x > 200$
$15x > 200 - 20$
$15x > 180$
$x > \frac{180}{15}$
$x > 12$
Это означает, что цена одной ручки должна быть больше 12 рублей.

Таким образом, мы получили систему из двух неравенств:
$\begin{cases} x < 10 \\ x > 12 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше 10 и больше 12. Следовательно, данная ситуация невозможна.
Ответ: невозможна.

б) Для анализа второй ситуации также введем переменную. Пусть цена одного килограмма моркови равна $y$ рублей. Цена огурцов известна и составляет 30 рублей за килограмм.
Согласно первому условию, один покупатель купил 3 кг огурцов и 2 кг моркови, заплатив больше 150 рублей. Составим неравенство:
$3 \cdot 30 + 2y > 150$
$90 + 2y > 150$
$2y > 150 - 90$
$2y > 60$
$y > 30$
Это означает, что цена моркови должна быть больше 30 рублей за килограмм.

Согласно второму условию, другой покупатель купил 4 кг огурцов и 1 кг моркови, заплатив меньше 160 рублей. Составим второе неравенство:
$4 \cdot 30 + y < 160$
$120 + y < 160$
$y < 160 - 120$
$y < 40$
Это означает, что цена моркови должна быть меньше 40 рублей за килограмм.

Таким образом, мы получили систему из двух неравенств для цены моркови $y$:
$\begin{cases} y > 30 \\ y < 40 \end{cases}$
что можно записать как двойное неравенство: $30 < y < 40$.
Эта система имеет решения. Например, цена моркови может быть 35 рублей за килограмм. Проверим это:
Первая покупка: $3 \cdot 30 + 2 \cdot 35 = 90 + 70 = 160$ рублей. $160 > 150$, условие выполняется.
Вторая покупка: $4 \cdot 30 + 35 = 120 + 35 = 155$ рублей. $155 < 160$, условие выполняется.
Так как существует цена на морковь, при которой оба условия выполняются, данная ситуация возможна.
Ответ: возможна.