Номер 112, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 112, страница 39.

112 a) Задумали целое положительное число. Если к нему прибавить 7, то сумма окажется меньше утроенного задуманного числа. Если же к нему прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Какое число могли задумать?

б) Два ученика играли в игру «Задумай число». Первый говорит: «Я задумал целое число. Прибавив к нему 20, я получу больше, чем если бы умножил это число на 8, но меньше, чем если бы умножил его на 9. Какое число я задумал?» Подумав, второй сказал, что этого не может быть. Докажите это.

а) Пусть задуманное целое положительное число — это $x$.

Согласно первому условию, если к числу прибавить 7, то сумма будет меньше утроенного задуманного числа. Составим неравенство:

$x + 7 < 3x$

Решим это неравенство:

$7 < 3x - x$

$7 < 2x$

$x > \frac{7}{2}$

$x > 3.5$

Согласно второму условию, если к числу прибавить 10, то сумма будет больше удвоенного числа. Составим второе неравенство:

$x + 10 > 2x$

Решим это неравенство:

$10 > 2x - x$

$10 > x$ или $x < 10$

Мы получили систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x > 3.5 \\ x < 10 \end{cases}$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3.5 < x < 10$.

Так как по условию $x$ — целое положительное число, нам нужно найти все целые числа в этом интервале. Это числа 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: задуманное число могло быть 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

б) Пусть целое число, которое задумал первый ученик, — это $y$.

Его утверждение можно записать в виде двойного неравенства. Сумма числа и 20 ($y + 20$) больше, чем это число, умноженное на 8 ($8y$), но меньше, чем это число, умноженное на 9 ($9y$).

$8y < y + 20 < 9y$

Чтобы решить это двойное неравенство, разобьем его на систему из двух неравенств:

$\begin{cases} 8y < y + 20 \\ y + 20 < 9y \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$8y - y < 20$

$7y < 20$

$y < \frac{20}{7}$

$y < 2\frac{6}{7}$

Теперь решим второе неравенство:

$20 < 9y - y$

$20 < 8y$

$y > \frac{20}{8}$

$y > \frac{5}{2}$

$y > 2.5$

Объединим результаты:

$2.5 < y < 2\frac{6}{7}$

По условию, первый ученик задумал целое число. Однако в интервале от 2.5 до $2\frac{6}{7}$ (приблизительно 2.86) нет ни одного целого числа.

Следовательно, не существует такого целого числа $y$, которое удовлетворяло бы условиям, названным первым учеником. Второй ученик был прав.

Ответ: второй ученик прав, потому что не существует целого числа $y$, удовлетворяющего неравенству $2.5 < y < 2\frac{6}{7}$.