Номер 115, страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 115, страница 40.

115 Решите двойное неравенство:

а) $-8 < 2x - 4 < 1;$

б) $-1 \le \frac{3x - 4}{5} \le 1;$

в) $-5 \le \frac{1 - x}{2} \le 0;$

г) $0 \le \frac{1 - 2x}{3} < 3;$

д) $2x < \frac{x}{3} - \frac{1}{2} \le 10;$

е) $-3 < 1 - \frac{2 - x}{3} < 3.$

а) $-8 < 2x - 4 < 1$

Чтобы выделить $x$ в середине, сначала прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-8 + 4 < 2x - 4 + 4 < 1 + 4$
$-4 < 2x < 5$

Теперь разделим все части неравенства на 2:
$\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{5}{2}$
$-2 < x < 2,5$

Решением является интервал, не включая его концы.

Ответ: $x \in (-2; 2,5)$.

б) $-1 \le \frac{3x - 4}{5} \le 1$

Умножим все части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется, так как 5 > 0.
$-1 \cdot 5 \le 5 \cdot \frac{3x - 4}{5} \le 1 \cdot 5$
$-5 \le 3x - 4 \le 5$

Прибавим 4 ко всем частям:
$-5 + 4 \le 3x - 4 + 4 \le 5 + 4$
$-1 \le 3x \le 9$

Разделим все части на 3:
$-\frac{1}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{9}{3}$
$-\frac{1}{3} \le x \le 3$

Решением является отрезок, включая его концы.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; 3]$.

в) $-5 \le \frac{1 - x}{2} \le 0$

Умножим все части на 2:
$-5 \cdot 2 \le 2 \cdot \frac{1 - x}{2} \le 0 \cdot 2$
$-10 \le 1 - x \le 0$

Вычтем 1 из всех частей:
$-10 - 1 \le 1 - x - 1 \le 0 - 1$
$-11 \le -x \le -1$

Умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-11) \cdot (-1) \ge (-x) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot (-1)$
$11 \ge x \ge 1$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):
$1 \le x \le 11$

Ответ: $x \in [1; 11]$.

г) $0 \le \frac{1 - 2x}{3} < 3$

Умножим все части на 3:
$0 \cdot 3 \le 3 \cdot \frac{1 - 2x}{3} < 3 \cdot 3$
$0 \le 1 - 2x < 9$

Вычтем 1 из всех частей:
$0 - 1 \le 1 - 2x - 1 < 9 - 1$
$-1 \le -2x < 8$

Разделим все части на -2, изменив знаки неравенства на противоположные:
$\frac{-1}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} > \frac{8}{-2}$
$0,5 \ge x > -4$

Запишем в стандартном виде:
$-4 < x \le 0,5$

Ответ: $x \in (-4; 0,5]$.

д) $2x < \frac{x}{3} - \frac{1}{2} \le 10$

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:
$\begin{cases} 2x < \frac{x}{3} - \frac{1}{2} \\ \frac{x}{3} - \frac{1}{2} \le 10 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:
$2x < \frac{x}{3} - \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$12x < 2x - 3$
$10x < -3$
$x < -0,3$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{x}{3} - \frac{1}{2} \le 10$
Умножим обе части на 6:
$2x - 3 \le 60$
$2x \le 63$
$x \le 31,5$

Решением системы является пересечение полученных решений: $x < -0,3$ и $x \le 31,5$.
Пересечением этих двух условий является $x < -0,3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,3)$.

е) $-3 < 1 - \frac{2 - x}{3} < 3$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-3 - 1 < 1 - \frac{2 - x}{3} - 1 < 3 - 1$
$-4 < -\frac{2 - x}{3} < 2$

Умножим все части на -1, меняя знаки неравенства на противоположные:
$4 > \frac{2 - x}{3} > -2$

Запишем в стандартном порядке:
$-2 < \frac{2 - x}{3} < 4$

Умножим все части на 3:
$-6 < 2 - x < 12$

Вычтем 2 из всех частей:
$-6 - 2 < 2 - x - 2 < 12 - 2$
$-8 < -x < 10$

Умножим все части на -1, снова меняя знаки неравенства:
$8 > x > -10$

Запишем в стандартном виде:
$-10 < x < 8$

Ответ: $x \in (-10; 8)$.