Номер 122, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 122, страница 41.

122 Определите, при каких значениях а данное выражение имеет смысл. Укажите по три значения переменной а, при которых данное выражение имеет смысл и при которых оно не имеет смысла:

а) $\sqrt{a-1} + \sqrt{a+1};$

б) $\sqrt{3a+2} - \sqrt{1-2a};$

в) $\sqrt{-3a} \cdot \sqrt{a+3};$

г) $\frac{\sqrt{2-\frac{a}{3}}}{\sqrt{1-\frac{a}{2}}}.$

а) Данное выражение $\sqrt{a-1} + \sqrt{a+1}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} a-1 \ge 0 \\ a+1 \ge 0 \end{cases}$
Решая эту систему, получаем:
$\begin{cases} a \ge 1 \\ a \ge -1 \end{cases}$
Общим решением системы является $a \ge 1$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=1$, $a=5$, $a=26$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=0$, $a=-2$, $a=-10$.
Ответ: выражение имеет смысл при $a \ge 1$.

б) Выражение $\sqrt{3a+2} - \sqrt{1-2a}$ имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3a+2 \ge 0 \\ 1-2a \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3a \ge -2 \\ 1 \ge 2a \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge -2/3 \\ a \le 1/2 \end{cases}$
Следовательно, выражение имеет смысл при $-2/3 \le a \le 1/2$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=-2/3$, $a=0$, $a=1/2$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=1$, $a=-1$, $a=2$.
Ответ: выражение имеет смысл при $-2/3 \le a \le 1/2$.

в) Выражение $\sqrt{-3a} \cdot \sqrt{a+3}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим и решим систему:
$\begin{cases} -3a \ge 0 \\ a+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a \le 0 \\ a \ge -3 \end{cases}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $-3 \le a \le 0$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=-3$, $a=-1$, $a=0$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=1$, $a=-4$, $a=10$.
Ответ: выражение имеет смысл при $-3 \le a \le 0$.

г) Дробное выражение $\frac{\sqrt{2-\frac{a}{3}}}{\sqrt{1-\frac{a}{2}}}$ имеет смысл, если подкоренное выражение в числителе неотрицательно, а подкоренное выражение в знаменателе строго положительно (так как деление на ноль недопустимо). Это соответствует системе неравенств:
$\begin{cases} 2 - \frac{a}{3} \ge 0 \\ 1 - \frac{a}{2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 \ge \frac{a}{3} \\ 1 > \frac{a}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} 6 \ge a \\ 2 > a \end{cases}$
Общим решением системы является неравенство $a < 2$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение имеет смысл: например, $a=1$, $a=0$, $a=-10$.
Три значения переменной $a$, при которых выражение не имеет смысла: например, $a=2$ (знаменатель равен нулю), $a=3$ (подкоренное выражение в знаменателе отрицательно), $a=7$ (подкоренное выражение в числителе отрицательно).
Ответ: выражение имеет смысл при $a < 2$.