Номер 125, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 125, страница 47.

125 Поставьте вместо многоточия такой знак неравенства, чтобы получившееся утверждение было верным при любых значениях переменных:

а) $x^2 + y^2 \dots 0;$

б) $(x + y)^2 \dots 0;$

в) $(x - y)^2 \dots 0;$

г) $-(x + y)^2 \dots 0;$

д) $x^2 \dots 0;$

е) $-x^2 \dots 0;$

ж) $x^2 + 1 \dots 0;$

з) $-x^2 - 1 \dots 0;$

и) $\frac{1}{x^2 + 1} \dots 0;$

к) $-\frac{1}{x^2 + 1} \dots 0.$

а) Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Равенство достигается, когда $x=0$ и $y=0$. Следовательно, $x^2 + y^2 \ge 0$.
Ответ: $x^2 + y^2 \ge 0$

б) Выражение $(x + y)^2$ представляет собой квадрат действительного числа $(x+y)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда $x+y=0$. Следовательно, $(x + y)^2 \ge 0$.
Ответ: $(x + y)^2 \ge 0$

в) Выражение $(x - y)^2$ представляет собой квадрат действительного числа $(x-y)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается, когда $x-y=0$, то есть $x=y$. Следовательно, $(x - y)^2 \ge 0$.
Ответ: $(x - y)^2 \ge 0$

г) Из пункта б) мы знаем, что $(x + y)^2 \ge 0$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число (-1), знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, получаем $-(x + y)^2 \le 0$.
Ответ: $-(x + y)^2 \le 0$

д) Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа $x$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $x=0$. Следовательно, $x^2 \ge 0$.
Ответ: $x^2 \ge 0$

е) Из пункта д) известно, что $x^2 \ge 0$. Умножая обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный. Таким образом, $-x^2 \le 0$.
Ответ: $-x^2 \le 0$

ж) Мы знаем, что $x^2 \ge 0$. Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получим $x^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, то выражение $x^2 + 1$ всегда строго больше нуля.
Ответ: $x^2 + 1 > 0$

з) Мы знаем, что $-x^2 \le 0$. Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $-x^2 - 1 \le -1$. Так как $-1 < 0$, то выражение $-x^2 - 1$ всегда строго меньше нуля.
Ответ: $-x^2 - 1 < 0$

и) Числитель дроби равен 1 (положительное число). Знаменатель дроби, $x^2+1$, как мы выяснили в пункте ж), всегда строго положителен ($x^2+1 > 0$). Частное от деления положительного числа на положительное всегда положительно.
Ответ: $\frac{1}{x^2 + 1} > 0$

к) Из пункта и) мы знаем, что дробь $\frac{1}{x^2+1}$ всегда положительна. При умножении положительного выражения на -1, результат всегда будет отрицательным, то есть строго меньшим нуля.
Ответ: $-\frac{1}{x^2 + 1} < 0$