Номер 129, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 129, страница 47.

129 Докажите, что если $a > 0$, то $a + \frac{1}{a} \geq 2$.

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Докажите, что если a > 0, то a + 1/a ≥ 2.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом равносильных преобразований. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

$a + \frac{1}{a} - 2$

Приведем выражение к общему знаменателю. Поскольку по условию $a > 0$, знаменатель не равен нулю.

$\frac{a^2}{a} + \frac{1}{a} - \frac{2a}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a}$

В числителе мы видим формулу квадрата разности: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{(a - 1)^2}{a}$

Теперь проанализируем знак этого выражения:

• Числитель $(a - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$.
• Знаменатель $a$ по условию положителен, то есть $a > 0$.

Частное от деления неотрицательного числа на положительное число всегда является неотрицательным. Следовательно:

$\frac{(a - 1)^2}{a} \ge 0$

Это означает, что $a + \frac{1}{a} - 2 \ge 0$, откуда следует, что $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда числитель равен нулю, то есть $(a - 1)^2 = 0$, что возможно только при $a=1$.

Ответ: Неравенство доказано путем преобразования разности его частей к выражению $\frac{(a - 1)^2}{a}$, которое всегда неотрицательно при $a > 0$.

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Словесная формулировка:

Сумма любого положительного числа и обратного ему числа всегда не меньше двух. Равенство (сумма равна двум) достигается только в том случае, если само число равно единице.

Примеры:

• Пусть $a = 2$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 2 + \frac{1}{2} = 2.5$. Как видим, $2.5 \ge 2$.
• Пусть $a = 10$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 10 + \frac{1}{10} = 10.1$. Как видим, $10.1 \ge 2$.
• Пусть $a = 0.5$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 0.5 + \frac{1}{0.5} = 0.5 + 2 = 2.5$. Как видим, $2.5 \ge 2$.
• Пусть $a = 1$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 1 + \frac{1}{1} = 2$. В этом случае достигается равенство: $2 \ge 2$.
• Пусть $a = 4$. Тогда $a + \frac{1}{a} = 4 + \frac{1}{4} = 4.25$. Как видим, $4.25 \ge 2$.

Ответ: Свойство: сумма положительного числа и числа, обратного ему, всегда больше или равна 2. Примеры, подтверждающие это свойство, приведены выше.