Номер 136, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 136, страница 48.

136 Докажите неравенство:

a) $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b);$

б) $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2(a + b + c).$

а)

Чтобы доказать неравенство $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b)$, выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$a^2 + b^2 + 2 - 2(a + b) \ge 0$

Раскроем скобки:

$a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b \ge 0$

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Представим число 2 как $1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Теперь свернем каждую группу слагаемых по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство верно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю), а сумма двух неотрицательных величин также неотрицательна. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2(a + b + c)$ воспользуемся аналогичным методом. Перенесем все члены из правой части в левую:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2(a + b + c) \ge 0$

Раскроем скобки:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2a - 2b - 2c \ge 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Для этого представим число 3 как $1 + 1 + 1$:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \ge 0$

Свернем каждую группу слагаемых, используя формулу квадрата разности:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \ge 0$

Данное неравенство истинно для любых действительных чисел $a, b, c$, так как $(a-1)^2 \ge 0$, $(b-1)^2 \ge 0$ и $(c-1)^2 \ge 0$. Сумма трех неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство, будучи равносильным последнему, также верно.

Ответ: Неравенство доказано.